Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. согласно (U)
- ¦ ¦ - * +
dpi .1 бех бр2 J бе2 ' * ' брз,
оо о
( 6rji_ &SA <5"р_ a"Sx I . 8гц ^ Л Г 8H2 .
' v (i>Pi tie'i Др2 8el 8e.i 8p3n ,5e, dean J J 8pt
о
+ +
. f 8m №SX 8щ 8гц
V 6pl 8e3n 8el ' 8p" 8езп 8e2 ' " " 8p3n 8e\n) J 8psn
0
(52)
246
У. ГАМИЛЬТОН
Кроме того, тождество (47) дает [105]
дщ __ бгр_ &SX дщ_ biSl drjj . .
бек брх бен бег брг беи бе2 ' ' ' ' ' брзп бек беал ' '
Поэтому выражение (52) может быть сокращено так:
= "ttf-...- *3L\**b-dt +
п брх J оех оръп J де3п
о о
+ тЧ ПГ~Л + ••• +ТГ-{-!г-М- (Х)
бех J дрх дет дрзп v '
О о
Это показывает, что вместо точных возмущенных членов (М) мы можем
приближенно воспользоваться выражением
А?< = -/tst"- <y>
о
чтобы вычислить возмущенную конфигурацию в любое время t на основе правил
невозмущенного движения, при условии, что, помимо такого изменения
начальных скоростей и направлений, мы изменим также начальную
конфигурацию согласно формуле:
= I"мк. (Z)
о
Нетрудно будет подобным же образом вычислить приближенные выражения для
возмущенных направлений и скоростей в любое время t; однако лучше, если
мы снова другим способом рассмотрим строгую теорию возмущения.
Другая строгая теория возмущения, основанная на свойствах возмущающей
части константы закона живой силы и дающая формулы для варьирования
элементов, более аналогичных уже известным
13. Предположим, что теория невозмущенного движения дала нам 6п
постоянных eh /?,- или любые комбинации их к1У к2, ..., квп в качестве
функций 6п переменных rjb со, и времени t, которые могут быть обозначены
так:
ki = X,¦(*,%, Ъ,. ¦ ¦ •> Ъп, "1, "а, • • •" "зп)- (54)
Эти элементы ki дают взаимно выражения для переменных rjh со, в терминах
этих элементов и времени, аналогичные (44) и (45) и могущие быть
записанными аналогичным образом:
rJi = 0i(t,k1, к2, ...,квп), щ = у, {t,klyk2, ..., квп). (55)
Тогда полная производная каждого такого элемента или функции kh взятая по
времени (в том виде, в каком она явно и неявно входит в выражение (54)),
должна исчезать в невозмущенном движении. Таким образом, посредством
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
247
дифференциальных уравнений такого движения (Н) должно строго и
тождественно иметь место следующее общее соотношение:
п dfo ., ( dkj SH1 dkj SH1 'j (<\рЛ
v ~ dt + ^ { dr} dm dr, J • '
Если, переходя к возмущенному движению, мы сохраняем уравнение (54) в
качестве определения величины /с" то эта величина больше не будет
постоянной, но будет продолжать удовлетворять обратным соотношениям (55)
и может быть по аналогии названа переменным элементом движения, а ее
полная производная по времени может быть посредством тождественного
уравнения (56) и при помощи дифференциальных уравнений возмущенного
движения (G) строго выражена следующим образом:
rffo _ у, fib dHz_ _ дЬ_ dH2 \ (д1
dt ^ \ dt] dot dot dt] ) ' '
14. Этот результат (А1) заключает в себе всю теорию постепенного
варьирования элементов возмущенного движения системы; однако он может
быть подвергнут полезному преобразованию путем подстановки выражений
(55) вместо переменных гр, со, как функций времени и элементов движения,
поскольку это приведет к системе 6п точных и простых дифференциальных
уравнений первого порядка между этими переменными элементами и временем.
Таким образом, если мы выражаем величину Н2 как функцию этих последних
переменных, то ее вариация дН2 принимает следующий, новый вид:
*Нг = 2 УЬ-дк + ^Н, (57)
что дает путем сопоставления с формой (48) и при помощи (54)
dH2 _ v dH2 dk . dbU _ v SH2 lk_ /^QN
dt]r ^ dk dt]r ' dcdr dk datr * '
где
Таким образом, общее уравнение (А1) преобразуется в следующее :
dkt дН, dH2 . dH2 /di\
~dF ~ a'<J + a''2 en ^ ^
at,
dki_ dks^ _ dki_ dk: dt] dot dm
- -) cc1)
t dt])' ^ >
так что остается только исключить переменные щ, со из выражений этих
последних коэффициентов. Замечательно то, что это исключение устраняет
также символ t и оставляет коэффициенты a,iS, выраженные как функции
одних элементов к и не включающие явно времени. Эта общая теорема
динамики, которая, возможно, немного шире, чем аналогичные результаты,
полученные Лагранжем и Пуассоном, поскольку в ней возмущающие члены в
дифференциальных уравнениях движения не зависят обязательно от
конфигурации, может быть исследована следующим образом.
15. Знак суммы Z в (С1) подобно тому же знаку без индекса в других
аналогичных уравнениях, в которых он уже встречался в этой работе,
относится не к явно введенным индексам, какими, например, здесь являются
i, s в величине, подлежащей суммированию, а к индексу, который не введен
явно и который здесь можно обозначить г. Таким образом, если мы для боль-
248
У. ГАМИЛЬТОН
шей ясности введем этот переменный индекс и его пределы, то выражение
(С1) превратится в следующее :
а _ узп ( dkj dks dkj dks 'j -CQ4
"/," - Zinx у 6rjr , (ОУ)
а его полная производная по времени может быть разделена на следующие две
части :
- а = V3" (- АА - - - Ski 1 4- van ( Al A АА !?*L A 8ks \
