Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 112

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 461 >> Следующая

Stjan
SV
Sean
Vi, Пз , • • • , "?3n) = H + u (Vl, % , • • • , V3n) , ^1 > ^2 ; • • • >
^3nj M U (в^ ; • • • > %n) •
(33)
Общий метод усовершенствования приближенного выражения главной функции в
любой задаче 'динамики
7. Если мы разделим главную функцию S на любые две части
= S (34)
и подставим их сумму вместо S в первое уравнение (С), то функция F в силу
ее рациональной, целой и однородной формы и степени может быть выра-
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
241
так как [1С
жена следующим, новым образом :
" ( 8S 8s \ с( 8si ssi ,
I 8Vl ' ' ёщп ' Vl ' • • • ' _ 1 <4 ' ¦" ' 8Щп '
*11' -> Ъп) +
, pr ( 8S1 ^ 8S2 | | р, ( 8S1 ] 8S2 \ р( 8S2 8S2 n
И 1 =
I &?i ) 8tj! +"•+ [ drjuti) 8rjzn I <5j?i 8tjzn '^l''"'^3n)
" ( 5S1 8S1 \ " ( SS2 ss2 " 4 .
~ I 8r,i ' ¦ * * ' dr,sn ' Vl ' ' ' ' ' %nJ [ <5% '
' 8t]sn ' Vl ' ' Пзп) 1
р(-|г) = рН|-)-р(т?-) (36)
2'f'(4r)^"2F(4lr "")• (37)
Поскольку с помощью (А) и (В) мы получим
Рй)-Р(5')"^1 = ^' <38)
то легко преобразуем первое уравнение (С) в следующее :
-*-= - "Г- + u<4i- ••¦¦V*") щ.''¦") +
+ ч"), <D)
что дает строго
^2 = I { 61^ ШЧ1- ¦ ¦ - 'Ум) ~ F '' ' •'_а^Г' У'.....Чал)}*** +
+!fBs- ч.-к <е>
если только предположить, что обе части, Slt S2, подобно полной главной
функции S подобраны так, чтобы они исчезали со временем.
Это общее и строгое преобразование представляет общий метод
усовершенствования приближенного выражения главной функции S в любой
задаче динамики, так как если часть является таким приближенным
выражением, то остающаяся часть, S2, будет мала, а однородная функция F,
включающая квадраты и произведения производных этой малой части во втором
определенном интеграле (Е), будет вообще также мала и более высокого
порядка малости. Поэтому мы можем в общем пренебречь этим вторым
определенным интегралом при переходе ко второму приближению и улучшить
первое приближенное выражение путем прибавления к нему следующей поправки
:
JS> = ! {- -6ч- + и<ч. Ч") - F 1,........Ч")} а; (F)
при вычислении этого определенного интеграла мы можем воспользоваться
следующими приближенными формами для интегралов уравнений движения :
п __ _ д __ dSi _ #St ."q,
Pl де ' Рг &!'•••'Рзп - дезп ' ' '
242
У. ГАМИЛЬТОН
выражая при их помощи сперва переменные гр как функции времени и 6п
постоянных е" pt и затем исключив после интегрирования 3п величин р( при
помощи тех же приближенных формул. Когда же мы получим таким образом
улучшенное выражение или второе приближенное значение + JSj для главной
функции S, оно может быть подобным же образом подставлено вместо первого
приближенного значения Slt с тем чтобы получить еще большее приближение ;
этот процесс можно повторять бесконечно.
Аналогичный процесс можно применить для бесконечного улучшения первого
приближенного выражения функций Q или V.
Строгая теория возмущений, основанная на свойствах возмущающей части
полной главной функции
8. Если мы разделим выражение Н (17) на две любые части того же рода :
Я, + Я2 = Я, (40)
где
Н1= F1(cd1,cd2, . .. ,ы3п, р1, р 2, .. . , %") - иг , Г]2, .. ., щп) (41)
и
Я2 = F2 (йл, а>2, ... , сд3п , %, щ, . . . , г}3п) - f/2 (% , %
, ... , р3п), (42)
причем функции F1; F2, Uv U2 таковы, что
Fx + F2 = F, U1-\-U2 - U, (43)
то дифференциальные уравнения движения (А) примут вид
dr/i _ 8Н1 вН2 (Гол _ 8Н1 6Н2
dt 8a>i бац ' dt Sr/i 8гц
(G)
и если часть Н2 и ее производные малы, то они не будут сильно отличаться
от дифференциальных уравнений :
dr/j _ 8Нг dcdj _ 8Н1
dt дол ' dt 8r/i ' ' '
так что строгие интегралы последней системы будут приближенными
интегралами первой. Тогда, путем соответствующего подбора преобладающего
члена ¦Н1 мы во всех случаях образуем и строго интегрируем такую систему
бп уравнений (Н), дающую выражения для 6п переменных "?,, щ в качестве
функций времени / и их собственных начальных значений е" pit которые
могут быть написаны так :
Vi ^1 G. > ^2 ) • • • > ^3п > Pi > Ря > ••• г Рзп) > (44)
d*i Wi • • • " ^3п i Pi I Pa i • • • ) Рзп) • (45)
Более простое движение, определенное таким образом посредством точных
интегралов (Н), может быть названо невозмущенным движением предложенной
системы п точек, а более сложное движение, выраженное точными интегралами
(G), может по контрасту быть названо возмущенным движением этой системы.
Переход же от одной системы к другой можно обозначить как задачу
возмущения.
9. Для того чтобы осуществить этот переход, надо отметить, что
поскольку дифференциальные уравнения невозмущенного движения (Н) имеют
тот же вид, что и первоначальные уравнения (А), их интегралы могут быть
выра-
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
243
жены аналогично, т. е. следующим образом :
dSi п dSi /тч
W< ~~ дTji ' Pl ~ Set ' (О
причем здесь представляет собой главную функцию невозмущенного движения
или определенный интеграл
(46)
О
рассматриваемый как функция времени и величин е(. Подобным же образом,
если мы представим полную главную функцию возмущенного движения как Sx +
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed