Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 111

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 461 >> Следующая

работе, или следующим упрощенным процессом.
Интегрирование уравнений движения посредством одной главной функции
4. Если мы возьмем вариацию определенного интеграла
<18>
о
не варьируя t или dt, то при помощи вариационного исчисления найдем
где
и, следовательно ["],
SS = § д S' ¦ dt, (19)
О
У = (20>
"¦-.s И-?-$"¦ Р"
т. е. с помощью уравнений движения (А) получим
3S' = 2' И + 4г *?) = 1 - • 0>дг> ¦ (22>
Вариация интеграла S имеет вид :
ёS = У (а> drj - р де), (23)
р и е по-прежнему являются начальными значениями. Когда S
рассматри-
вается как функция 6п величин "?,, е,¦ (включающая также время), она
разлагается на следующие 6/2 выражений :
- _ ds __ 8s 0>1 dtj1 ' P1 дег
SS .. SS
de,
SS SS
' Pan ~ Se3n
u3n •
St],
(B)
которые, очевидно, являются формами искомых интегралов 6п
дифференциальных уравнений движения (А), содержащими только одну
неизвестную функцию S. Таким образом, трудности решения задач
математической динамики сводятся к отысканию и изучению этой одной
функции S, которая поэтому может быть названа главной функцией движения
системы.
Эта функция S была введена в первой работе в виде
S=j!(T + U)dt,
О
ВТОРОЙ ОЧЕРК ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
239
причем символы Т и U имели в этой форме свои обычные значения. Следует
отметить, что когда S выражается этим определенным интегралом, условия
для исчезновения его вариации (если заданы начальные и конечные
координаты и время) в точности представляют собой дифференциальные
уравнения движения (3) в форме, данной Лагранжем. Поэтому вариация этого
определенного интеграла S обладает тем двойным свойством, что она дает
дифференциальные уравнения движения для любых преобразованных координат,
когда крайние положения рассматриваются как закрепленные, а также дает
интегралы этих дифференциальных уравнений, когда крайние положения
рассматриваются как переменные f1-0].
5. Хотя функция S, по-видимому, заслуживает названия главной функции,
данного ей здесь, так как она служит для того, чтобы как будто самым
простым образом выразить интегралы уравнений движения и самые
дифференциальные уравнения, тем не менее анализ приводит к другим
функциям, которые также могут быть использованы для выражения интегралов
этих уравнений. Так, если мы напишем
Q= l(-2'vf- + H)dt (24)
и возьмем вариацию этого интеграла Q, не варьируя t или dt, то при помощи
процесса, аналогичного рассмотренному, найдем
dQ = 2J (р да> - е др), (25)
так что если мы будем рассматривать Q как функцию 6п величин со,, р,- и
времени, то получим бп выражений
<26>
которые представляют собой другие формы интегралов уравнений движения
(А), включающие Q вместо S. Мы можем воспользоваться также интегралом
t
V= J = 2 (27)
0
дЪ)
который в предыдущей работе был назван характеристической функцией.
Вариация его, если рассматривать этот интеграл как функцию бп + 1 величин
р" е" И, будет
dV = 2(frbn-pbe) + tdH. (28)
Все эти функции S, Q, V связаны таким образом, что ф^рмы и свойства любой
из них могут быть выведены из форм и свойств другой [ш].
Исследование пары дифференциальных уравнений в частных производных
первого порядка, которым должна удовлетворять главная функция
6. При образовании вариации (23) или частных производных (В) главной
функции S вариация времени была опущена. Однако производную-^- ,
соответствующую этой вариации, легко можно вычислить, поскольку очевидное
уравнение
dS _ J>S_ , v_dS__dr]_
dt dt "г - dr, dt >
240
У. ГАМИЛЬТ Н
с помощью (20) и (А), (В) дает
SS St
-я.
(30)
Также очевидно, что эта производная или величина -Я является постоянной,
т. е. не меняющейся во время движения системы, так как дифференциальные
уравнения движения (А) дают
йн
dt
дН dr)
+
дН Ош
) = 0.
(31)
dtj dt дш dt
Поэтому, если мы займемся уравнением (17) и отметим, что функция F по
необходимости является рациональной, целой и однородной второй степени по
отношению к величинам w,-, то увидим, что главная функция S должна
удовлетворять двум следующим уравнениям между ее частными производными
первого порядка, которые представляют главное средство для раскрытия ее
вида [102] :
ds , a(8S ss SS Л rl, ч
ЪГ + F 1 <5% ' Ъщ ' • • • > <3r/a> 7i, ^2 > • • • > Узп) - U (Vi , Пз> •
• •""
_J_ р(ds 8S dS
St
" f SS SS SS \ г i / \
"I- F (dej- ' Se^ ' ' ' ' ' Sean ' ' ' ' ' ' ^3rij
(й > > • • • i езn) •
(C)
И наоборот, если известна форма S, то из нее можно вывести формы этих
уравнений (С) путем исключения величин е или ц из выражений ее частных
производных. Таким образом, мы можем вернуться от главной функции S к
функциям F и U и, следовательно, к выражению Я и к уравнениям движения
(А).
Аналогичные замечания относятся к функциям Q и У, которые должны
удовлетворять уравнениям в частных производных :
SQ 6Q
°Sn ' Ml ' Ml
SQ
Suian
= U
(SQ
( ScOi
SQ
S со.
dQ
~8T
И
F
(Pi.Pa.
• ; Рзп >
SQ _ SQ SPl ' Sp2 '
SQ
2
SQ ' 8рзп .
SQ
SbjMi

-u(-
Spi
Sps
_ dQ )
' ' SpanJ
(32)
sv
Se,
SV
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed