Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
с линией пересечения двух плоскостей^, г(1),42),г(2), а г представляет
собой наклон этих двух плоскостей по отношению друг к другу. Поэтому мы
можем считать, что характеристическая функция V, относительного движения
для любой тройной системы зависит только от этих последних линий и углов
и величины Н,.
Рассуждение, которое мы сочли полезным здесь развить для любой •системы
трех точек, притягивающих или отталкивающих одна другую в зависимости от
любых функций их расстояний, уже приводилось в более общей форме в п. 12
этой работы и показывает, например, что характеристическая функция
относительного движения в системе четырех таких точек зависит от формы и
величины семиугольника и, следовательно, только от
взаимных расстояний его углов, число которых =] 21, но которые
связаны шестью уравнениями условий, так что независимыми остаются только
пятнадцать. Эти замечания легко можно распространить на любую
множественную систему.
220
У. ГАМИЛЬТОН
Общий метод усовершенствования приближенного выражения характеристической
функции движения системы в любой задаче динамики
19. Уравнение в частных производных (F), которому должна удовлетворять
характеристическая функция V во всякой задаче динамики, не без пользы
может быть подвергнуто некоторым общим преобразованиям путем разделения
этой функции V на две любые части:
Vi+Vt=V. (U4>
Если мы для сокращения введем 7, и 72, определяемые двумя следующими
уравнениями :
т - у _L
1 2 - ^ 2 m аналогичными соотношению
№Г+Ш!+№Г|.
(V*)
r = ^'iU(-?)' + Hr), + (4f)'}- m
которое было использовано для преобразования закона живой силы в
уравнении в частных производных (F), то получим посредством (U4)
r = r1 + T!+vi-(" + ^ + ^). (X.)
Это выражение при помощи формулы (С) или при помощи закона переменного
действия может быть преобразовано далее, так как этот закон дает
следующее символическое уравнение :
m { дх дх ду ду 6z 6z)~ dt ' К '
где символы в обоих членах предпосылаются любой функции переменных
координат системы, не обязательно включающей время. Отсюда посредством
(U4) и (V4) мы получаем
х, 1 ( дуг ёУ.2 дуг дУ2 дуг (ЯМ __ dV, 2Т (т
m \ 8х 8х ду 8у ' 8z 8z ) dt 2' ' '
Таким образом, мы находим следующее общее и строгое преобразование
уравнения (F):
7-71 + 72. (А5)
dt
Здесь 7 сохранено ради симметрии и понятности вместо равнозначного
выражения U -f- Н. Если предположить, как мы вправе сделать, что часть V,
подобно полной функции V взята такой, что она исчезает со временем, тогда
и другая часть V2 будет обладать этим свойством и может быть выражена
определенным интегралом
V2=/(Т-Т,+ Т2)<Я. (В5)
О
В более общем виде, если мы применим принципы, изложенные в п. 7, и
введем Зп отметок г\" ?у2, . . ., ijan переменных положений п точек
любой.
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
221
системы (будь то сами прямоугольные координаты или какие бы то ни было их
функции), то получим
"=¦>
и по аналогии можем принять два следующих определяющих уравнения :
8Уг dvx
Т - Р №. У1-
1 ~ I 'Ч ' <4 ' •' ¦ ' 8Vm) ' т - Р -*У± av4
2 ( ёщ ' 8щ ' ¦ ' ¦ ' дщп)
(D5)
При этом функция F всегда является рациональной, целой и однородной
второго измерения и поэтому она такова, что (кроме других свойств)
Т = Т1 + Т2 + ^^ + ~%-^+ ... 1(Е*)
<5% 8щ дщп
дТ дТг , дТг 8Т _ 8Т1 , 8]\
, 8У 8Уг ^ " 8Уг ' ¦ • ' ' 8V 8Уг ^ dK2
<5% дщ дг]1 дщп дщп 8rjm
(F5)
8Т2 8V z , dV2 <5V2 ] , Г<5Т2 <5к2 _ ryrp /г,ь\
^ _6V± 8щ + _8У^ 8rjm 2 ' У >
8т)г 8г\у 8rjm
Исходя из принципов, изложенных в восьмом параграфе, мы имеем также
8Т , 8Т , 8Т _ , и5Ч
JV ' 8У ~ % ' • ¦ ¦ ' 8У ' (н )
<5% 8г]2 8г]зп
и поскольку значения rj'v . . ., r]'3m очевидно, дают символическое
уравнение
г 8 ./ 8 * /8 d /1^\
Vl~bjr + Va~b?+ ••• + "ciW~^ (^
то уравнение (А5) все еще сохраняет силу в отношении введенных более
общих отметок положения движущейся системы и все еще приводит к выражению
(В5), если только мы предполагаем, как и раньше, что обе части полной
характеристической функции взяты такими, что они исчезают со временем.
На первый взгляд может показаться, что это строгое преобразование (В5)
уравнения в частных производных (F) или аналогичного уравнения (Т) с
непрямолинейными координатами вряд ли поможет в раскрытии формы части V2
характеристической функции V (предполагается, что другая часть найдена
ранее), так как она под знаком интеграла в члене Т2 включает частные
производные искомой части V2. Но, если мы заметим, что эти неизвестные
производные входят только своими квадратами и произведениями, то увидим,
что это дает общий метод усовершенствования приближения в любой задаче
динамики, так как если первая часть Vx является приближенным значением
полной искомой функции V, то вторая часть V2 будет мала, а член Т2также
будет не только мал, но в общем будет более высокого порядка малости.
Поэтому мы в общем улучшим приближенное значение Уг
222
У. ГАМИЛЬТОН
характеристической функции V путем прибавления к ней определенного"
интеграла
