booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 102

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvuПредыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 461 >> Следующая
SV SV _ SV
6xj = m1x'll 8уг ~ ЩУ1, 3zl = m1zi;
SV SV _ SV (D4)
dx2 = m2 x2, dy3~~ т2У2. Sz2 - rn2z2; >
SV SV _ SV
dxs = m3x'3, dy3 ~ "зУз > dz3 = ms4
конечных интегралов в виде
<5K SV __ SV
8at -Щ а'г, • Sbt -тг b[, dcx = -тгс{ ;
SV SV SV (E4)
8аг = - -ш2 а2, Ж _ " - m2 b2, dc2 = -m2c2 ;
SV SV
da3 __ -т3а3, _ Sb3 m3 b3, dcs = -m3c3,
причем вспомогательная постоянная Я исключается и время t вводится
посредством другого уравнения, часто встречающегося в данной работе:
t
6V
дн
(Е)
ПБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
215
Тот же закон переменного действия подсказывает еще один метод
исследования формы этой характеристической функции, не требующий
предварительного интегрирования известных уравнений движения, а именно,
интегрирование двух уравнений в частных производных, связанных с законом
живой силы :
Для того чтобы облегчить определение этим способом функции У, которая
зависит от 18 координат, мы можем, исходя из принципов, изложенных ранее,
разделить ее на часть V,,, зависящую только от движения центра тяжести
системы и определяемую формулой (Н1), и на часть V,, зависящую только от
относительных движений вокруг этого внутреннего центра и равную
накопленной живой силе, связанной только с этим относительным движением.
Таким образом, трудность сводится к определению относительного действия
V, ; и если мы введем относительные координаты
то, исходя из принципов, изложенных в десятом и последующих параграфах
легко убедиться в том, что функция V, может рассматриваться как зависящая
только от этих относительных координат и от величины Н,, аналогичной Н
(помимо масс системы), и что она должна удовлетворять двум уравнениям в
частных производных, аналогичным (F4) и (G4), а именно :
(F4)
И
(G4)
fl - Х1 Х3, 7]1 - ух у3 , С\ - z3, |
= X2 X3 , r]2 = y2 - y3 , C2 == Z2 Z3 I
(126)
и
ai - Q-i > Pi - ^1 > У1 ^1 ^3 > (
°2 = ^2 (r)3 > Pi ~ ^2 h , У2 - C2 C3 , I
(127)
2 m1
= mx m2 /и-" + m1 m3 f<14" + m2 m. '<2'3> + H, (H4)
и
216
У. ГАМИЛЬТОН
При этом закон вариации этой функции по z' имеет вид :
6V, = tdH, + щ (ft <5ft - а[ ёаг + ft ёгк - ft dft + ft (5ft - ft d7l) +
+ m2 (ft (5ft - а' ёа2 + -ft ёгк - ft (5ft + ft<5ft - Га йГа) -
1
- {{Щ + щ ft) (mx c5ft + m2 c5ft
- (ща'г + Щ<*'2) (mx(5ax + Ш2йа2) + (mxft + m2ft) (mx<fyx + m2<fy2) -
- (mxft + m2ft) (mxc5ft + m2c5ft) + (mxft + m2ft) (mx ft + m2ft) -
- (mxft + m2y')(mxd7X + m2<V2)}, (K4)
Это выражение таким же образом, как и выше, распадается на шесть
промежуточных и шесть конечных интегралов относительного движения, а
именно на следующие уравнения :
1 dv, nil ft + m2 ft 1 шх ft -(- m2 ft e
т1 <5ft mi + m2 + m3 ' "i + m2 + m3 '
1 dV, , mi n'i + Щ ft 1 <5K/ w mi ft + m2 ft .
mi дщ - 7]г тх + т2+т3 > <4 - % mi + m2 + m3 '
1 6V, - ?* Щ ft + m2 ft 1 dv, nil ft ^2 ft
mi <5ft mi + m2 + m3 ' ^ 2 <5ft ' + m2 + m3
- 1 mi dv, (5ax = ai- mx a) + m2 a2 mi + m2 + m3 ' - 1 m2 <5K,
<5a2 = "2' mi al + m2 ft mi + m2 + m3
-1 dV, mi P'l + m2 Рг - 1 <5K, /?' mi PI + m2 ft
mi dpi Pi mi + m2 + m3 ' - P2 mi + m2 + m3
-1 dv, mi ft + m2 ft - 1 <5V, / mi ft + ni2 ft
nil д У1 /i nil ~t" ni2 -(- m3 ' <5у2 - y2 Wi + m2+ m3
(L4)
(М4)
которые следует комбинировать с нашей старой формулой
д V,
ё н,
t.
(О1)
18. Величина Н, в V, и аналогичная величина Н" в V", действительно,
независимы от времени и не меняются в ходе движения, но дух нашего метода
требует того, чтобы при выведении абсолютного действия или первоначальной
характеристической функции V из двух частей V, и V" мы рассматривали эти
две части Н, и Н" первоначальной величины Н как функции, каждая из
которых включает девять начальных и девять конечных интегралов точек
тройной системы ; при этом формы этих двух функций восемнадцати координат
и Н определяются двумя условиями :
= н. + н.-н. т
Однако из этих условий вытекает, что когда мы берем вариацию полной
первоначальной функции V первого порядка по отношению к восемнадцати
координатам, то можем рассматривать две вспомогательные величины Н, и Н"
как постоянные ; следовательно, мы имеем следующие выражения
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
217
для частных производных первого порядка V, взятых по координатам,
параллельным х:
ду
дУ,
Sxt
дУ
дх2
дУ
8х,
"1
дУ,
-6V.
+
+
дУ"
д V
т1 + т2 + т3 дх" т2 ЗУ,,
mi + т2 + тз * х"
8V,
h тз тл
даг
дУ
да,
дУ,
да1
дУ,
+
8 У"
дУ" д У
8?j. д|2 m1-fm2+m3 дх" ' да3
т1 + т2+ т3 да,,
тх 8У"
да2 т1 + т2 + т3 да,,
дУ, _ <НЛ т3 дУ"
да3 да2 тх+т2+т3 да,,
(О4)
совместно с аналогичными выражениями для частных производных того же
порядка, взятых по другим координатам. Подставляя эти выражения в
выражения формы (О) :
дУ _8У_ _8У_ дУ
дх3 дх2 дх3 да3
дУ _дУ_ J>\^ _dV_
fyi дУз
дУ _8У_ _8V_ 8V
д-у "Г я~ "г
№+^ = 0.
дгх дг2 ' дг3 <5сх дс2 дс3
+
да2
дУ
дЬ2
дУ
да3
дУ
дЬ3
дУ
= 0, = 0.
(Р4>
мы убеждаемся в том, что эти уравнения становятся тождествами, так как
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 461 >> Следующая