Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Победря Б.Е. -> "Основы механики сплошной среды" -> 64

Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.

Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 272 c.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка): osnovimehanikisploshnoysredi2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 76 >> Следующая

236

Лекция 22

4. Четвёртый постулат (14.44) представляет собой закон сохранения энергии в МСС. Положим / = е, Bn = —qn и из (22.17) получим скалярное условие

Этот же постулат можно записать и форме (14.43), при

5. Для пятого постулата о притоке тепла (14.50) необходимо положить / = ps, Bn = —qn/T:

6. Обратимся теперь к соотношению электромагнитодинами-

ки (19.25), для которого f = (к\Ё\2 + р\Н\2)/(8тг), Bn = -Sn,

В заключение рассмотрим вопрос о так называемой постановке задач для изучаемых в этой книге моделей сплошных сред. Данному вопросу достаточного внимания ещё уделено не было, так как для этой цели требуется знание более серьёзного математического аппарата, чем тот, который использовался до сих пор.

(22.22)

(22.23)

этом f = е + \v\2/2, Bn = Sn • у — qn. Тогда, принимая во вни-

мание (22.18),

Iv і

p' е + — (v'n-D) = IaijVj - дг]щ.

(22.25)

р'У>" -D)- p's\v'n -D) =

или, с учётом (22.18),

A8Wn-D) = - f пг-

(22.27)

где S — вектор Пойнтинга. Условие на поверхности разрыва (22.17) запишется следующим образом:

(я\Ё\2 + p\H\2){vn - D) =-8тг[Silni. (22.28)
Условия на поверхностях разрыва. Постановки краевых задач

237

Начнём с простейшего примера. Пусть требуется решить обыкновенное дифференциальное уравнение

Й = /М (22,29)

CiXz

при X ^ 0. Заданная функция f(x) называется правой частью уравнения (22.29). Чтобы решение было единственным, надо записать дополнительные условия (начальные данные) при х =

= 0; du

U = C1, ^c=C2. (22.30)

Задача (22.29), (22.30) называется задачей Коши. Очевидно, она имеет единственное решение

и(х) =

(x-y)f(y)dy + C2x + Cl. (22.31)

Если решается уравнение (22.29) на конечном отрезке 0 < х < /, то дополнительные условия в граничных точках отрезка можно записать в виде

U(O) = C1, U(I) = C2. (22.32)

Эти условия называются краевыми или граничными, а задача (22.29), (22.32) называется краевой задачей. Её единственное решение таково:

х I

U ( X ) =

(x-y)f(y)dy + C\ + j

о

C2-Ci-

(l-y)f(y) dy

(22.33)

В механике принято называть начальными данными (начальными условиями) величины, которые задаются в начальный момент времени t = to или t = 0. Если уравнения MCC содержат производные по времени, то они называются начально-краевыми (нестационарными или, иногда, динамическими). Правые части таких уравнений, а также заданные величины в начальных и краевых условиях называются входными данными.

Статические задачи (как и стационарные) не содержат в своей формулировке времени. Для таких задач начальных условий во “входных данных” нет.

Если же время входит как параметр в правые части и краевые условия, но уравнения не содержат производных по времени, то
238

Лекция 22

такие задачи называются квазистатическими или квазиста-ционарными. Начальные условия для них также не задаются.

Область V, занимаемая сплошной средой, может быть ограничена замкнутой поверхностью Е, но может быть и неограниченной. В последнем случае нужно задавать ещё дополнительные условия на бесконечности. Может случиться, что поверхность S содержит особые точки (например, рёбра или конические точки). Тогда в них также должны быть заданы некоторые дополнительные условия.

He будем здесь рассматривать вопрос о необходимом числе краевых и дополнительных условий, а приведём примеры для разобранных моделей. Рассмотрим сначала модель идеальной жидкости (лекция 9). Уравнения движения Эйлера (9.9) в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

В силу того что в уравнениях (22.34) присутствует только первая производная по времени, начальное условие при t = О для вектора у будет одно:

В правой части уравнений (22.34) имеются производные по координатам от одной скалярной величины — давления р. Следовательно, граничное условие для р на поверхности S с единичной нормалью п будет одно:

Граничное условие (22.36) называется статическим.

Если же идеальная жидкость движется в области V, ограниченной поверхностью Е, не протекает сквозь эту поверхность и не отрывается от неё, то граничное условие (условие непроте-кания) на E будет, разумеется, тоже одно:

Граничное условие (22.37) называется кинематическим. Его единственность физически оправдана тем, что в идеальной жидкости на касательные составляющие вектора скорости v поверхность E не оказывает никакого влияния (вспомним парадокс Эйлера-Даламбера).

(22.34)

(22.35)

(22.36)

(22.37)
Условия на поверхностях разрыва. Постановки краевых задач

239

Иногда оказывается, что поверхность S разбита на две части: Si и 5?, такие что Si U Y2 = S, Si П Y2 = 0. При этом на части поверхности Si задано статическое условие (22.36), а на части S2 кинематическое (22.37). Если же область V неограни-чена, то, как уже говорилось, требуется задать дополнительные условия на бесконечености.

Теперь можно говорить о постановке задачи, например, для идеальной несжимаемой жидкости. Эта задача заключается в отыскании трёх компонент вектора скорости v и давления р из решения трёх уравнений Эйлера (22.34) при учёте одного уравнения несжимаемости (9.10). При этом должны удовлетворяться начальные условия (22.35) и некоторые граничные условия, например (22.36), или (22.37), или смешанные: на части границы Si (22.36), а на оставшейся части S2 (22.37).
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed