Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Победря Б.Е. -> "Основы механики сплошной среды" -> 63

Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.

Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 272 c.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка): osnovimehanikisploshnoysredi2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 76 >> Следующая


Множество Sq может моделировать границу раздела двух различных сред, а может находиться внутри однородной среды.

Эта поверхность Sq не будет поверхностью разрыва, если при переходе через неё векторы перемещения, скорости, а также напряжения не терпят разрыва, т. е.

[щ] = U1I -и\ = 0, [(TijUj] = [<Jij\nj = [(J1ij - (Tfij)Hj = 0. (22.1)

Величины [щ\ и [(Tijfij], заключённые в квадратные скобки в (22.1), называются скачками перемещений и напряжений при переходе через поверхность Sg-

Если при переходе через Sq терпят разрыв перемещения, или скорости, или температура, то Sq называется поверхностью сильного разрыва. Если же эти величины непрерывны, но в точках х Є Ho терпят разрыв их производные по координатам и времени, то S0 называется поверхностью слабого разрыва.

Пусть движение этой поверхности задаётся соотношением

т = г (t, а1, а2), (22.2)
Условия на поверхностях разрыва. Постановки краевых задач

233

где а1, а2 — криволинейные координаты. Очевидно, что соотношение (22.2) можно записать в виде

Xi = Xi(t, а1, а2), (22.3)

или

g(xux2,x3,t) = 0. (22.4)

Тогда вектор единичной нормали п имеет вид

а=й (225)

Будем обозначать скорость поверхности в направлении её движения через

D = Dn, D=\D\, (22.6)

т. е. скорость поверхности Sq всегда направлена по нормали к Sq. Вектор D(S), S є Sq, вообще говоря, отличается от вектора скорости у(S) материальной частицы, находящейся в момент времени t в точке S поверхности.

Поскольку равенство (22.4) выполнено при любом t, возьмём полную производную по t от обеих его частей:

| = § + В.*»1в = 0. (22.7)

Разделим (22.7) на |gradg| и учтём равенства (22.5) и (22.6). Тогда получим выражение для модуля скорости поверхности Sq :

D = -MiL (22.8)

|grad#|

Выберем в пространстве некоторый подвижный (жидкий) объём V, который исследуемая поверхность Sq в каждый момент времени делит на два объёма: Vr и Vff (рис. 61).

Обратимся теперь к общей интегральной записи постулатов MCC (14.55): d

dt

padV =

р AdV +

CdV, (22.9)

У У S У

описывающей изменение величины j^padV. Дифференциальным следствием (22.9) является равенство (или равенства, в зависимости от ранга тензора а) (14.58)

= pA + DivB + C. (22.10)
234

Лекция 22

-о» V1

V

Рис. 61

Полагая а, А, В, С такими же, как в (14.59)-(14.63), из (22.9), (22.10) получим интегральные и дифференциальные формулировки всех пяти постулатов МСС.

Воспользуемся леммой о дифференциро-

вании по времени интеграла по жидкому объёму (6.4): d

dt

f(r,t)dV =

%dV+

fvn dS,

(22.11)

v

v

и применим её последовательно к жидким объёмам V' и V" (рис. 61):

d_

dt

d_

dt

/(г, t) dV =

%dV +

У'

У'

XdS+ /7DdS. (22.12)

S0

mt)dv =

д?_

dt

dV +

KdS-

/77DdS. (22.13)

У"

У"

Здесь Vfn и VfJl — значения нормальной составляющей вектора скорости на поверхностях S7 и S77 соответственно.

Выполним предельный переход при V = Vr U Vn —> 0, при этом S7 —> Sq, S77 —> Sq. Обозначим /7 и /7/ предельные значения непрерывной функции /(г, і) при стремлении V —^ 0 со стороны Vr и Vff соответственно. Тогда

K^s

/XdS. (22.14)

?"

Из (22.12)-(22.14) получим

,. d Iim —

v-»o dt

fdV= Hm

I--

У

У

f{v'n-D)dZ +

+ /"«-D)dE. (22.15)

Проделывая ту же процедуру разбиения У на У7 и У77 с последующим устремлением V к нулю в (22.9), где положим
Условия на поверхностях разрыва. Постановки краевых задач

235

ра = /, будем иметь

Iim ^r dt

fdV= Hm pAdV + v-oj

У У E0

+ Iim

к -BfJdY +

CdV; (22.16)

у

Если величины f, А и С ограничены, то все объёмные интегралы в (22.15) и (22.16) стремятся к нулю. Таким образом, в каждой точке поверхности Sq справедливо соотношение для разрывных на Sq функций / (/" — /' = [/]):

/>" -D)- /'« -D) = В" - В'п, (22.17)

называемое условием на поверхности разрыва.

В формулировках каждого из известных постулатов MCC объекты / и В имеют конкретный вид (см. (14.59)-(14.63)). Рассмотрим условия на поверхности разрыва (22.17) применительно к этим постулатам.

1. Для первого постулата (6.8) (закона сохранения массы) / = р, B = 0. Получающееся из (22.17) скалярное соотношение

p"(vn -D) = р'Ып — D) (22.18)

описывает скачок плотности при переходе через поверхность Sq- Если рп < pf, то имеет место скачок разрежения, если

же рп > pf, то скачок уплотнения. Из (22.18) видно, что если VrJl = O (распад разрыва), то vrn < D.

2. Для второго постулата (6.34) (закона об изменении количества движения) / следует заменить на вектор pi7, a Bn на Sn = SjTij = GijTijki. Из (22.17) получим

А'К -D)- P1V1tK -D) = [<7ц\щ, (22.19)

или, используя предыдущий закон (22.18),

p'[vi]K-D) = [oij]nj. (22.20)

3. Для третьего постулата (7.2) (закона об изменении момента количества движения) / заменим на г х рг7, а В на р х Sn:

^ijk(^P ТУ) р XjVfc(vn ^ijk%j [^kml^m- (22.21)

Видно, что три соотношения (22.21) являются лишь следствиями соотношений (22.19).
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed