Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
2(Q_1?Q) = Q1^Q (21.14)
Если S — полная группа движений евклидова пространства M3,
то тензорная функция а(є), удовлетворяющая (21.14) для любой ортогональной матрицы Q, называется изотропной.
Тензор, который инвариантен относительно некоторой подгруппы полной ортогональной группы, может быть выражен как сумма конечного числа инвариантных тензоров с некоторыми
15 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
226
Лекция 21
скалярными коэффициентами. Набор этих тензоров называется тензорным базисом данной подгруппы преобразований. Каждая такая подгруппа характеризует определённый класс анизотропии в сплошной среде.
Тензорный базис изотропной среды, как среды, свойства которой одинаковы во всех направлениях и при отражении относительно любой плоскости, состоит только из единичного тензора с компонентами Sij, так что любой материальный тензор второго ранга Ъ в изотропном теле имеет вид
Ъц = Ыц. (21.15)
Материальный же тензор четвёртого ранга А, симметричный
хотя бы по первым двум индексам, выражается через тензорный базис в виде
j^ijki = А\SijSki A2(SikSji SnSjk)• (21.16)
В (21.15) и (21.16) Ъ, А\ и A2 — материальные коэффициенты.
Из соображений чётности числа индексов ясно, что тензор нечётного ранга нельзя представить в виде комбинаций символов Кронекера Sij. К числу материальных тензоров нечётного ранга можно отнести введённые в лекции 20 материальные векторы щ и тензоры пьезомодулей dijk. Отсюда сразу следует, что как пироэлектрический эффект (20.20), так и пьезоэлектрический эффект (20.18) в изотропной среде невозможны.
Рассмотрим два распространённых вида анизотропии, или две подгруппы полной ортогональной группы в M3 [25, 36].
Трансверсально изотропная среда характеризуется тем, что в ней свойства не меняются при повороте на любой угол относительно некоторой оси (например, оси {Охз)) и при отражении относительно произвольной плоскости, содержащей эту ось. Тензорный базис в данном случае состоит из единичного вектора вдоль оси трансверсальной изотропии с компонентами = S%k, а также тензора
Hj = SuSlj + S2iS2J. (21.17)
Материальные тензоры Ъ и А в трансверсально изотропной среде представляются следующим образом:
bij = b\Q(j + b2^ij, (21.18)
Mjkl — Mlijlkl + Milikljl + Iilljk) + MilijCkCl + IklCiCj) + + MCiCjCkCl + MilikCjCl + IjkCiCl + IilCjCk + IjlCiCk)• (21.19)
Элементы теории определяющих соотношений
227
В ортотропной среде свойства не меняются при отражении относительно каждой из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, например координатных. Тензорный базис ортотропии состоит из трёх тензоров
Ilf = SaiSaj, «= 1,2,3. (21.20)
Тензоры Ъ и А в базисе (21.20) имеют вид
CK=I
Aijki = Ai (lffl^ + Т^ЧР) +
+ ^(liklff + + IiPlfk + IiP к) +
+Аз (rljMf+Iifii?) +
+ j ^(rlf Tfcf + 7ifc4jf + IiP7,-fc ) +
+ A5(lik lfp + Iik IjP + 7y4jfc + IiPIjk) +
+ j (т^ЧіР + Ti^ TjP + 71/4]? ) +
+ ^ ^7(7}? 7fcf + IiP IjP + IiP Ijk) +
+ -^8 (liP IkP + TijjTfcf ) +
+ (jikhjP + IiPIjP + IiP Ijk + IiP lfk)- (21 -22)
3. Если вид материальных функций определяющих соотношений зависит от пространственных координат Х{, например, Сфі(х), Kij(x), dijk(S), говорят, что материал неоднороден. В частном случае неоднородности, когда имеет место зависимость только от одной координаты, например ?3, т. е. dCijki/dx 1 = dCijki/dx2 = 0, речь идёт о стратифицированном вдоль оси жз материале. Типичным стратифицированным материалом явлется земной шар вблизи его поверхности.
Если зависимость материальных функций от координат непрерывна, то имеет место непрерывная неоднородность. Если же данная зависимость описывается разрывными функциями координат, то такое тело называется композитом [37]. Эти
15*
228
Лекция 21
разрывные функции зачастую являются кусочно постоянными, что соответствует композиту с однородными компонентами. По геометрической структуре различают слоистые, т. е. стратифицированные вдоль определённого направления (рис. 55),
Рис. 55 Рис. 56
о _-_о_
о о о
:-:-01-IO=":
Рис. 57 Рис. 58
волокнистые (рис. 56), гранулированные, или зернистые, композиты (рис. 57) и др. Часто материальные функции периодичны по координатам и в композите можно выделить геометрическую ячейку периодичности. Тогда говорят, что он имеет периодическую структуру (все изображённые на рис. 55-57 композиты имеют периодическую структуру), в противном случае — непериодическую (рис. 58).
В неоднородных телах (в частности, в композитах) трудно создать однородное напряжённо-деформированное состояние. Поэтому часто экспериментально находят только осреднённые, или эффективные, характеристики материала.
Элементы теории определяющих соотношений
229
4. В материальные функции может явно входить время t, тогда среды, описываемые такими определяющими соотношениями, называются реономными [41, 49]. Примерами реономных соотношений служат связи напряжений и деформаций в теории вязкоупругости:
t
cr(t) = R(t — т) cfe(r)
(21.23)
или
a(t) =
Г(і, т)є(т) dr,
