Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
13:
196
Лекция 18
фундаментальным решением <9*(г, ?) будет решение уравнения
A q* = (18.6)
где ? — фиксированный вектор в IR3.
Вид скалярного потенциала (2.49), исследованного в лекции 2, указывает на явный вид решения (18.6):
e^ = -SP
(18.7)
где под г теперь понимается расстояние между точками г и ?:
Г = л/(жг — €г)(жг ~ €г) • (18.8)
Тогда единственное решение уравнения Пуассона (18.3) имеет
вид
в{г) =
47Г
в(0
dVt.
(18.9)
у
у
Здесь и далее введено обозначение: dV^ = d?\
Аналогично выписывается единственное решение для векторного уравнения (18.5):
Vj(C)
(18.10)
У
Подставим теперь потенциалы (18.9) и (18.10) в (18.1) и с учётом обозначений (18.2) и (18.8) получим
»>-)=і
— grad
' div«(^)
dV^ rot
' rot «(?)
dVp
v
V
. (18.11)
Внесём в (18.11) дифференциальные (по переменным х) операторы grad и rot под знак интегралов по переменным ?, принимая во внимание, что
JL = _ Xi ~ &
dxi \r Окончательно будем иметь
(18.12)
и =
4тт
div й(|*)^-з^ ^Vre +
rot Й(|*) X Ці
У
У
(18.13)
Таким образом, потенциалы <9 и Ф представлены соотношениями (18.9), (18.10), а выражение (18.1) имеет вид (18.11)
Основы электромагнито динамики
197
либо (18.13). Если дополнительно известно, что поле и потенциальное (безвихревое), то в (18.11) и (18.13) отличны от нуля только первые слагаемые, если поле и соленоидальное, то только вторые. Описанный алгоритм нахождения потенциалов <9 и Ф указывает на единственность разложения (18.1). Теорема Гельмгольца доказана.
Эта теорема векторного анализа играет важную роль в элект-ромагнитодинамике — разделе МСС, занимающемся процессами деформирования сплошных сред под действием сил не только механической, но также электрической и магнитной природы [24,56]. Говоря об электрических силах, необходимо вспомнить известный в классической механике закон тяготения Ньютона, утверждающий, что для двух точечных масс т\ и т2 в пространстве M3
P _ TnlTTl2 T12 /1QHN
Fn-4WFm- (Ш4)
где F12 — сила, действующая со стороны массы т\ на тп2, т\2 — вектор, указанный на рис. 51, / « 6, 673 • IO-11 м3/( кг-с2) — гравитационная постоянная.
Ранее были введены плотность распределения массы р, пробная единичная масса и силы, которые появлялись от взаимодействия пробной массы с другими массами. Пусть теперь
ш1#-----------------^фШ2 ег______________^________е2
Fl 2
Рис. 51 Рис. 52
в пространстве расположены два заряда: е\ и е2 (рис. 52). Тогда по аналогии с (18.14) положим, что со стороны заряда е\ на е2 действует кулоновская сила
=tSre (18-15)
Знак “+” в (18.15) выбирается, если заряды одноимённые, а знак ”, если разноимённые (противоимённые). Соотношение (18.15) называется законом Кулона.
Заметим, что не все элементарные частицы являются источником электромагнитного поля. Так что значения электрического
198
Лекция 18
заряда е приписываются только частицам, которые создают такого рода поля. Законы физики не изменяют своего вида при замене всех положительных зарядов на отрицательные и наоборот.
Если заряды некоторым образом непрерывно распределены в пространстве, то характеристикой такого распределения является плотность заряда pe(r,t) = Iim AejAV:
е =
V
PedV9 (18.16)
где е — суммарный заряд объёма V. Примем закон постоянства заряда в виде ,
?=°- <i8i7>
или, если заряды точеченые,
N M
Yl~ S е*~ = const' (18.18)
і= 1 і= I
Плотность заряда удовлетворяет дифференциальному уравнению постоянства заряда, записываемому аналогично уравнению неразрывности (6.11):
^ + div (/VU) = 0, (18.19)
где V — скорость движения зарядов.
Пусть поле создаётся точечным электрическим зарядом ео, помещённым в начале координат. Введём характеристику этого поля — вектор электрической напряжённости, или просто напряжённость, E — такую, что при внесении в поле пробного заряда е, одноимённого с ео, на него действует центральная сила
F = еЁ. (18.20)
Поле E состоит из суммы полей отдельных (свободных)
зарядов:
div F = Att ре, VotE = O, (18.21)
и является безвихревым. Тогда из теоремы Гельмгольца следует, что существует электрический потенциал Lp, такой что
Ё = — grad (р, Aip = —Att ре. (18.22)
Следовательно, если ре = ео5(х — ?), то
eO пяосл
Основы электромагнито динамики
199
и из первой формулы (18.22) получим
Тогда из (18.20) следует, что
F = ее0 . (18.25)
Выражение (18.25), собственно говоря, и представляет собой закон Кулона.
Если заряд непрерывно распределён по объёму V (или по поверхности Е, или вдоль кривой Г) с плотностью ре(г, t), то электрический потенциал имеет вид
^dV Iip
Pe 7 V
a Zj, Lp =
^ds). (18.26)
Функция (/9 (18.26) является решением уравнения Пуассона (18.22)
Aip = — 4ттре, (18.27)
а следовательно,
div?? = 47rpe, rotE = 0. (18.28)
Возьмём теперь заряд е в начале координат и заряд —е
в точке с радиусом-вектором I (рис. 53). Если длина |/1
много меньше расстояния от данных зарядов до исследуемых точек, то совокупность зарядов е и —е носит название диполя. Потенциал диполя в произвольной точке т равен
