Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Победря Б.Е. -> "Основы механики сплошной среды" -> 52

Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.

Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 272 c.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка): osnovimehanikisploshnoysredi2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 76 >> Следующая


Второе слагаемое (17.6) с учётом определения (17.5) макроскопической скорости примет следующий вид:

iV г nQ

YmP $(r-qp)Yj^r(f?a)d<ldP =

13=1 f a= I qa

N г д

= YmP Яг-чр)a~-aUФр =

Р=\ р
Макровеличины и термодинамические параметры состояния 191

= -Vm/3 fq'g ¦ т—5(г — qp) dq dp =

U J dqP

E (? • ®>) = E (w • *>)

При переходе от первого выражению ко второму (замена двойной суммы одинарной) и от второго выражения к третьему (интегрирование по частям) в цепочке (17.9) мы вновь воспользовались тем, что функция / на границе <9Г обращается в нуль.

Итак, из (17.6)-(17.9) следует “макроскопическое” уравнение неразрывности (6.11):

многократно встречавшееся ранее.

Умножим теперь все члены скалярного уравнения (17.6) на вектор ppS(г — qp), проинтегрируем по Г и просуммируем по /3 от 1 до N. Первое слагаемое в силу определения макроскопической скорости (17.5) даст следующее:

(17.10)

Преобразуем далее третье слагаемое:

г

N 3

(17.12)
192

Лекция 17

Ho дрр/дррі = ki, поэтому, продолжая цепочку (17.12), получим

N r N

Y qp)fppdqdp = - ^(pp8(f-- qp)) = -X(r,t).

/J=1P /5=1 (17.13)

Размерность скорости изменения обобщённого импульса р'^

совпадает с размерностью силы. Поэтому величина X в (17.13) по размерности есть сила, отнесённая к единице объёма. Будем называть X(f,t) макроскопической объёмной силой, действующей в момент t в точке г евклидова пространства.

Второе слагаемое уравнения (17.6) после преобразований, аналогичных (17.9) и (17.12), можно записать следующим образом:

Nr nB

Y PpSir-qp) Y dQdp =

п_ I J ___1 иЧа

и — 1 р OL— 1

N 3 В

= (17Л4)

(3= 1 і= 1 г

Представим q'p в виде суммы v — среднего значения по всем точкам — и некоторых добавок Aq^, среднее от которых равно

НУЛЮ: qp = v +Aqp. (17.15)

Умножая обе части равенства (17.15) на тр и учитывая (17.4), получим

Pp = mpv + App, App = mpAqp. (17.16)

Подставляя (17.15) и (17.16) в (17.14), запишем

n3B 3BZn \

YY ^q'^-q^ = Y-^{^Y^5^- q^n +

/3=1 і= I 1 i=\ 1 ' /3=1 '

3 B N в

+ Zl Q^i Y(APPAqPiS(f~ q^ = +

+ Іґ,І]ґ, (^Ti ®)> "
Макровеличины и термодинамические параметры состояния

193

где Р1КИН\гЛ) — кинетический вектор внутренних напряжений в момент t в точке г на площадке с нормалью вдоль оси Х{. Его компоненты в декартовом базисе kj\

(кин) (кин) / ^P (3j -» \ \ /17 1П\

4 =4 =~L\ тр P35(r-qp)J, (17.18)

являются компонентами симметричного тензора кинетических напряжений.

Собирая вместе выкладки (17.11)-(17.14) и (17.17), а также учитывая, что

d(pv) d(pvjv) _ d(pv) д(ру) ^dvi _ dt dxi dt V% dxi дхі

= (1719)

dt dt dt из уравнения Лиувилля (17.6) получим

3 лр(кин)

= (17.20,

І— 1

Заметим, что макроскопическая объёмная сила X(r,t), определённая в (17.13) и фигурирующая в (17.20), возникает в результате как внутреннего взаимодействия точек системы, так и взаимодействия с внешними телами, т. е.

X(r,t) = X®{f,t) + X^{r,t). (17.21)

Предположим, что поле внутреннего взаимодействия XW потен-циально и представимо в дивергентном виде. Это означает, что

= ^ E^ О*-*)

CK=I \ / i= 1

где Р[и0Т\гЛ) — потенциальный вектор внутренних напряжений. В статистической механике примером функции U^\q) может служить сумма потенциалов Up1 парного взаимодействия частиц:

N N

и{гЧч) = (17-23)

P=I 7=1

чФР

где Tp1 — расстояние между частицами с номерами /3 и 7.

13 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
194

Лекция 17

Подставляя сумму (17.21) в (17.20), принимая во внимание (17.22) и вводя в рассмотрение полный макроскопический вектор внутренних напряжений

P-г, t) = P^m)(f,t) + p-nm)(f,t), (17.24)

получим уже знакомые уравнения движения сплошной среды (6.58):

-E S-^ = 0- ^*"1- <17 25)

І= 1
ЛЕКЦИЯ 18 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТОДИНАМИКИ

В лекции 2 уже вводились понятия потенциальности и соле-ноидальности векторного поля, им даны соответствующие определения (2.24) и (2.25), а также выявлен механический смысл операторов div, rot и grad. Докажем теперь важную в векторном анализе теорему Гельмгольца, утверждающую, что всякое достаточно гладкое в M3 векторное поле можно представить как сумму потенциальной и соленоидальной составляющих.

Теорема Гельмгольца. Для любого векторного поля и(г) класса C2 в M3 существуют скалярный 0(f) и векторный Ф(г) потенциалы такие, что

й= grad© + rot Ф, (18-1)

причём функция Ф является соленоидальной, т. е. div ^ = = 0. Если 0 при \r I = г —> ос, то представление (18.1) единственно.

Обозначим

в = Aivu, Ґф = rot и. (18.2)

Применяя к обеим частям (18.1) оператор div и пользуясь формулой (2.27), получим скалярное уравнение для 0:

Ав = в. (18.3)

Применяя же к обеим частям (18.1) оператор rot и пользуясь

соленоидальностью Ф и равенством

rot rot Ф = Є^к(їОІФ)j= =

= (^kl^im ^кт^іі)^тД^к = ^i,ik^k ^k,к =

= grad div Ф — АФ = —АФ, (18.4)

получим векторное уравнение для Ф:

АФ = -ф. (18.5)

Неоднородные уравнения Лапласа (18.3) и (18.5) называют уравнениями Пуассона. Их решения можно найти, зная фундаментальное решение уравнения Пуассона. Например, для (18.3)
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed