Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Второе слагаемое (17.6) с учётом определения (17.5) макроскопической скорости примет следующий вид:
iV г nQ
YmP $(r-qp)Yj^r(f?a)d<ldP =
13=1 f a= I qa
N г д
= YmP Яг-чр)a~-aUФр =
Р=\ р
Макровеличины и термодинамические параметры состояния 191
= -Vm/3 fq'g ¦ т—5(г — qp) dq dp =
U J dqP
E (? • ®>) = E (w • *>)
При переходе от первого выражению ко второму (замена двойной суммы одинарной) и от второго выражения к третьему (интегрирование по частям) в цепочке (17.9) мы вновь воспользовались тем, что функция / на границе <9Г обращается в нуль.
Итак, из (17.6)-(17.9) следует “макроскопическое” уравнение неразрывности (6.11):
многократно встречавшееся ранее.
Умножим теперь все члены скалярного уравнения (17.6) на вектор ppS(г — qp), проинтегрируем по Г и просуммируем по /3 от 1 до N. Первое слагаемое в силу определения макроскопической скорости (17.5) даст следующее:
(17.10)
Преобразуем далее третье слагаемое:
г
N 3
(17.12)
192
Лекция 17
Ho дрр/дррі = ki, поэтому, продолжая цепочку (17.12), получим
N r N
Y qp)fppdqdp = - ^(pp8(f-- qp)) = -X(r,t).
/J=1P /5=1 (17.13)
Размерность скорости изменения обобщённого импульса р'^
совпадает с размерностью силы. Поэтому величина X в (17.13) по размерности есть сила, отнесённая к единице объёма. Будем называть X(f,t) макроскопической объёмной силой, действующей в момент t в точке г евклидова пространства.
Второе слагаемое уравнения (17.6) после преобразований, аналогичных (17.9) и (17.12), можно записать следующим образом:
Nr nB
Y PpSir-qp) Y dQdp =
п_ I J ___1 иЧа
и — 1 р OL— 1
N 3 В
= (17Л4)
(3= 1 і= 1 г
Представим q'p в виде суммы v — среднего значения по всем точкам — и некоторых добавок Aq^, среднее от которых равно
НУЛЮ: qp = v +Aqp. (17.15)
Умножая обе части равенства (17.15) на тр и учитывая (17.4), получим
Pp = mpv + App, App = mpAqp. (17.16)
Подставляя (17.15) и (17.16) в (17.14), запишем
n3B 3BZn \
YY ^q'^-q^ = Y-^{^Y^5^- q^n +
/3=1 і= I 1 i=\ 1 ' /3=1 '
3 B N в
+ Zl Q^i Y(APPAqPiS(f~ q^ = +
+ Іґ,І]ґ, (^Ti ®)> "
Макровеличины и термодинамические параметры состояния
193
где Р1КИН\гЛ) — кинетический вектор внутренних напряжений в момент t в точке г на площадке с нормалью вдоль оси Х{. Его компоненты в декартовом базисе kj\
(кин) (кин) / ^P (3j -» \ \ /17 1П\
4 =4 =~L\ тр P35(r-qp)J, (17.18)
являются компонентами симметричного тензора кинетических напряжений.
Собирая вместе выкладки (17.11)-(17.14) и (17.17), а также учитывая, что
d(pv) d(pvjv) _ d(pv) д(ру) ^dvi _ dt dxi dt V% dxi дхі
= (1719)
dt dt dt из уравнения Лиувилля (17.6) получим
3 лр(кин)
= (17.20,
І— 1
Заметим, что макроскопическая объёмная сила X(r,t), определённая в (17.13) и фигурирующая в (17.20), возникает в результате как внутреннего взаимодействия точек системы, так и взаимодействия с внешними телами, т. е.
X(r,t) = X®{f,t) + X^{r,t). (17.21)
Предположим, что поле внутреннего взаимодействия XW потен-циально и представимо в дивергентном виде. Это означает, что
= ^ E^ О*-*)
CK=I \ / i= 1
где Р[и0Т\гЛ) — потенциальный вектор внутренних напряжений. В статистической механике примером функции U^\q) может служить сумма потенциалов Up1 парного взаимодействия частиц:
N N
и{гЧч) = (17-23)
P=I 7=1
чФР
где Tp1 — расстояние между частицами с номерами /3 и 7.
13 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
194
Лекция 17
Подставляя сумму (17.21) в (17.20), принимая во внимание (17.22) и вводя в рассмотрение полный макроскопический вектор внутренних напряжений
P-г, t) = P^m)(f,t) + p-nm)(f,t), (17.24)
получим уже знакомые уравнения движения сплошной среды (6.58):
-E S-^ = 0- ^*"1- <17 25)
І= 1
ЛЕКЦИЯ 18 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТОДИНАМИКИ
В лекции 2 уже вводились понятия потенциальности и соле-ноидальности векторного поля, им даны соответствующие определения (2.24) и (2.25), а также выявлен механический смысл операторов div, rot и grad. Докажем теперь важную в векторном анализе теорему Гельмгольца, утверждающую, что всякое достаточно гладкое в M3 векторное поле можно представить как сумму потенциальной и соленоидальной составляющих.
Теорема Гельмгольца. Для любого векторного поля и(г) класса C2 в M3 существуют скалярный 0(f) и векторный Ф(г) потенциалы такие, что
й= grad© + rot Ф, (18-1)
причём функция Ф является соленоидальной, т. е. div ^ = = 0. Если 0 при \r I = г —> ос, то представление (18.1) единственно.
Обозначим
в = Aivu, Ґф = rot и. (18.2)
Применяя к обеим частям (18.1) оператор div и пользуясь формулой (2.27), получим скалярное уравнение для 0:
Ав = в. (18.3)
Применяя же к обеим частям (18.1) оператор rot и пользуясь
соленоидальностью Ф и равенством
rot rot Ф = Є^к(їОІФ)j= =
= (^kl^im ^кт^іі)^тД^к = ^i,ik^k ^k,к =
= grad div Ф — АФ = —АФ, (18.4)
получим векторное уравнение для Ф:
АФ = -ф. (18.5)
Неоднородные уравнения Лапласа (18.3) и (18.5) называют уравнениями Пуассона. Их решения можно найти, зная фундаментальное решение уравнения Пуассона. Например, для (18.3)