Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Победря Б.Е. -> "Основы механики сплошной среды" -> 27

Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.

Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 272 c.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка): osnovimehanikisploshnoysredi2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 76 >> Следующая


Будем считать, что в актуальной конфигурации задана прямоугольная декартова система координат с единичными ортами ki так, что V = Viki, Cu = uoiki. Преобразуем fc-ю компоненту вектора, являющегося суммой двух последних слагаемых в (9.19):

grad |г/|2 + 2й х ¦ h = ^(ViVi)tk + 2eijku)ivj =

= ViVi iz CijkCmniVn^mVj = ViVifk (SjmSkn Sjn8km)vn^mVj =

= ViVijz Vk mVm VnJzVn = Vk mVm, (9.20)

и заметим, что она совпадает с к-й компонентой конвективной производной по времени вектора скорости. Сумма частной и конвективной производных согласно (1.23) есть полная производная по времени от скорости, или ускорение W.

Воспользуемся доказанным результатом и подставим ускорение в форме Громеки-Лэмба в (9.18). Получим

I v\2 \

LA. + 'p + u) =2ухш. (9.21)

Рассмотрим два частных случая интегрируемости уравнения (9.21).

1. Пусть движение идеальной баротропной жидкости установившееся, т. е. выполняется условие (2.11). Спроектируем в каждой точке среды векторное уравнение (9.21) на линию тока (или на траекторию, совпадающую в силу стационарности с линией тока), которая проходит через эту точку. Так как по определению линии тока вектор v направлен в каждой точке и в каждый момент времени по касательной к этой линии, проекция правой части (9.21) равна нулю. В результате будем иметь

grad (^- + V+ U^j= 0, (9.22)

ИЛИ

IiJI2

IJ- + V + U = C, (9.23)

где С — постоянная величина вдоль каждой линии тока. Она не является константой для всей области течения.

Первый интеграл (9.23) уравнений движения (9.21) называется интегралом Бернулли. Он справедлив не только для линии тока, но и для каждой вихревой линии, т. е. линии, касательная к которой параллельна вектору и. В этом случае С постоянна вдоль каждой вихревой линии.

dv

т + grad
Простейшие модели жидкостей

103

2. Возвратимся к уравнениям движения (9.21) и предположим, что течение идеальной баротропной жидкости потенциально:

у = grad Lp. (9.24)

Тогда 2й = rot grad Lp = 0. Подставим (9.24) в (9.21) и получим grad (^ + ^IgracM2 + E + и) = 0, (9.25)

ИЛИ

^ + grad ip\2 + V + U = f(t). (9.26)

Первый интеграл (9.26) уравнений движения (9.21) называется интегралом Коши-Лагранжа. Функция f{t) определена во всей области течения V.

Для нахождения константы С в интеграле Бернулли (9.23) и функции f{t) в интеграле Коши-Лагранжа (9.26) необходимо использовать начальные и граничные условия. Начальные условия задаются в момент времени t = 0 во всех точках V:

t = 0: v = v°(x). (9.27)

Граничные условия задаются в любой момент времени, но лишь на границе S = Tv U Ss области V. В случае идеальной жидкости возможно задание либо нормальной скорости = v • N:

х Є Tv : = vo(x,t), (9.28)

либо давления р:

хе Ts: p = po(x,t). (9.29)

Граничные условия (9.28) называются кинематическими,

а условия (9.29) — статическими. В (9.28), естественно, предполагается, что в точке х ETv существует единичная нормаль N. В особых же точках, таких как рёбра, угловые точки, точки возврата, граничные условия имеют другой вид, на котором сейчас останавливаться не будем.

Приведём далее примеры задач механики идеальной жидкости, допускающих решение на основе первых интегралов уравнений движения, в частности интеграла Бернулли. Во всех задачах будем полагать, что жидкость однородна и несжимаема, поэтому, как следует из (9.15), V = р/ро.
104

Лекция 9

1. Тяжёлая жидкость вытекает из открытого резервуара, показанного на рис. 35, через малое отверстие в боковой стенке. Найти скорость истечения в тот момент, когда расстояние от этого отверстия до верхней границы жидкости равно h.

Направим ось х% = z вверх и выберем начало координат на уровне отверстия, как указано на рис. 35. Единственной

поверхности равны нулю (действительно, они много меньше искомой скорости истечения), поэтому движение за небольшой промежуток времени можно считать установившимся. Следовательно, вдоль линии 7 справедлив интеграл Бернулли (9.23). Запишем его для двух точек, А и В, принадлежащих 7:

Выражение (9.32) и является ответом в данной задаче. Если внешние давления в точках AnB одинаковы и равны, например, атмосферному, то

|в = \f2gh. (9.33)

Любопытно, что формула (9.33) в точности совпадает с известной из классической механики формулой Торричелли для скорости материальной точки, брошенной с высоты h из состояния покоя.

Можно поставить и иную задачу: каким должно быть минимальное давление рв вокруг резервуара, для того чтобы тяжёлая жидкость не вытекала из него? Для ответа надо вос-

массовой силой является сила тяжести F = —дк%, обладающая потенциалом

9

U = gz. (9.30)

Рис. 35

В

Выберем линию тока 7, начинающуюся в точке А на верхней поверхности жидкости и выходящую через отверстие в точке В. Будем полагать, что резервуар достаточно большой и скорости точек верхней

Так как = h, zB = 0, \v\A = 0, из (9.31) получим

(9.32)
Простейшие модели жидкостей

105

пользоваться решением (9.32) и положить в нём \v\B = 0. Тогда

Pb=Pa+ POdh- (9.34)
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed