Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Победря Б.Е. -> "Основы механики сплошной среды" -> 25

Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.

Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 272 c.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка): osnovimehanikisploshnoysredi2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 76 >> Следующая


Подсчитаем, пользуясь (8.16), значения (т^)2 на каждой из шести найденных площадок. Заметим, что (т^)2 зависит лишь от квадратов компонент нормали, поэтому эти шесть площадок разбиваются на три пары с нормалями {0, 1 /у/2 , ± 1/л/2}, {1 /л/2, 0, =Ы/л/2}, {1 /л/2, =Ы/\/2, 0}. На ортогональных площадках из одной пары касательные напряжения совпадают. Углы же между двумя площадками из разных пар равны 7г/3, так как косинусы углов между соответствующими нормалями равны ±1/2.

(л'
Напряжённое состояние в точке

95

Подставим в (8.16) компоненты N\ =0, N2 = N3 = 1 /л/2 и получим: (т^)2 = (а2 — а3)2/А, или, в силу предположения (8.21): = (<72 — сг3)/2 = т23. Аналогично найдём каса-

тельные напряжения на площадках из двух других пар:

°\-°2 CF2-G3 /о 0QN

т12 = —2—’ Т23 = —2—’ Т13 = —2—’

Предоставляем читателю самостоятельно показать, что если все главные напряжения различны, то на указанных парах биссекторных площадок касательные напряжения действительно достигают своих локальных экстремальных, а именно максимальных, значений Т\2, т23, 7~із, определяемых (8.23). Они носят название максимальных касательных напряжений. В силу предположения (8.21) наибольшим среди них (глобальным максимумом величины т^) является величина

crI - crS _ (N) /q

Т\3 = —2— = (8.24)

Она равна сумме двух других максимальных касательных напряжений:

Пз = Ti 2 + т23. (8.25)

Итак, напряжение в данной точке реализуется на площадках, делящих пополам прямые двугранные углы между пер-

вой и третьей координатными (главными) площадками. Заметим, что касательное напряжение на октаэдрических площадках г^окт^ согласно (8.15) и (8.23) выражается через максимальные касательные напряжения следующим образом:

2

(окт) ±л / 2 , _2 гт-2

З V '12 + т22з + tiV (8.26)

Для геометрической интерпретации пространственного напряжённого состояния в точке используют плоскую диаграмму, приведённую на рис. 32, а. По оси абсцисс отложены главные напряжения (Ti, о2, а3 и на трёх образовавшихся отрезках, как на диаметрах, построены так называемые круги Мора. В силу (8.23) очевидно, что радиусами этих кругов будут величины Ti2, T23, Ti3 (ординаты верхних точек кругов). Если два из трёх главных напряжений совпадают, то три круга Мора вырождаются в один (рис. 32,6), и геометрическая интерпретация по-прежнему будет справедлива. Если же все главные напряжения равны друг другу,
96

Лекция 8

а б в

Рис. 32

т. е. тензор напряжений Коши в данной точке шаровой, то круги Мора вырождаются в одну точку на оси абсцисс (рис. 32, в).

Обратимся теперь к плоскости, определяемой первым и вторым главными направлениями тензора напряжений в некоторой точке, т. е. к третьей главной площадке. Оси (Oxi) и (Ох2) направим вдоль главных направлений. Выберем в данной плоскости некоторый единичный вектор N и ортогональный ему единичный вектор T (рис. 33):

N = Njkj, N\ =cosa, N2 = since, (8.27)

T = Tjkj, Ti = — sin a, T2 = cos а. (8.28)

Найдём нормальное и касательное напряжения на площадке с нормалью N. Так как оси (Oxi) и (0x2) главные, то

a(N) = g{N) . N = aiNf + (J2JVf =

= (Ti cos2 a + ?72 sin2 a = ^ ^2 + ^2 cos 2а. (8.29)

Согласно (8.16) и (8.21) rW = ofiVj2 + (T2TV2 - (CTjAT12 + (T2Ar2)2 =

= erf cos2 a + (т| sin2 a — ((T1 cos2 a + cr2 sin2 a)2 =

= I (ai — (J2) sin Ol cos OlI = °X 2 °2 I sin 2aI. (8.30)

Заметим, что в силу (8.13) и (8.30)

T(ff) = IaiiV1T1 + CT2JV2T2I = Igw • f |. (8.31)

Из выражения (8.30) для следует уже известный из этой лекции факт: максимальное касательное напряжение, равное (а\ — а2)/2, или Т12, реализуется на площадках, для которых sin 2а = =Ы, или а = 7г/2 =Ь 7г/4. Эти площадки являются бис-секторными по отношению к главным.
Напряжённое состояние в точке

97

Пусть теперь ось (Ох3) остаётся главным направлением тензора напряжений, а в плоскости (Ох 1X2) (на третьей главной площадке) возьмём систему координат, повёрнутую относительно главных осей на угол а (рис. 33), так что

k[ = N, к'2 = Т. (8.32) Т = к2

В новой (штрихованной) системе координат

N = Njkf1, N[ = I9 Nr2 = 0, (8.33)

T = TfJkf1, Т[ = 0, TfC1=X, (8.34) Рис. 33

т. е. площадка с нормалью N, на которой действует вектор S^N\ является координатной, а именно ортогональной оси (Ох\).

Пользуясь формулой (8.4), отражающей физический смысл компонент тензора P = PfJkfi ®kj, а также соотношениями

(8.29)-(8.32), можно записать

Р[J = S100 = S(N) ¦ к\ = S(N) ¦ N = =

0\ + O2 0\ — O2 0 /о оа\

= —2-------1----2—cos2a’ (8.35)

Р[2 = S(p = S{N) ¦ к'2 = S{N) ¦ T = a2~ai gin2a. (8.36)

Из условия инвариантности

Pu + Р22 ~ crI + а2 (8.37)

и (8.35) получим выражение для P22;

/ (7\+(72 (7\~(72 /OQON

р22 = —2----------2— COS ^ '

Обратим теперь соотношения (8.35), (8.36) и (8.38), выразив величины а, о\ и G2 через компоненты Pjj:

і 2 Pf

«=о arctSpT^V. (8-39)

z 22 111

ст1;2 = і (Ч + Pi2 ± ^(р;, - Р'2)2 + 4. (8.40)

Таким образом, если в данной точке в некоторой системе координат известны компоненты Pjj тензора напряжений Коши Р, то по формулам (8.39), (8.40) в этой точке можно вычислить главные напряжения и ориентацию главных площадок по отношению к координатным.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed