Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Победря Б.Е. -> "Основы механики сплошной среды" -> 24

Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.

Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 272 c.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка): osnovimehanikisploshnoysredi2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 76 >> Следующая


Возвращаясь к координатным площадкам с нормалями N^a\ из (8.4) и определений (8.5), (8.6) имеем

*{а) = ¦ Ia = Paa,

r(«) = - (стН)2 = у/PctiPai - Pla = ^Pl0 + Plr

(8.7)

Исследуем теперь экстремальность величин И

в фиксированной точке на различных площадках. Существуют ли площадки, на которых касательное напряжение принимает своё минимальное, т. е. нулевое, значение? На таких площадках

вектор должен быть параллелен нормали N. Запишем это требование в компонентах:

PijNj = crNi, или (Pij — a5ij)Nj = 0. (8.8)

Система трёх однородных уравнениий (8.8) будет иметь нетривиальное решение лишь в том случае, когда её определитель равен нулю. Это равносильно тому, что а является решением характеристического (векового) уравнения третьей степени

CJ3-IiCJ2+ I2CT-J3 = 0. (8.9)

Здесь I\, I2, Із — инварианты тензора напряжений Коши Р:

Ii=trP, I2 = trP*, I3 = AetP, (8.10)

где Р* — алгебраическое дополнение Р.

Рис. 29
92

Лекция 8

В силу симметрии тензора P все три корня: а<72, <73, уравнения (8.9), называемые главными напряжениями, действительны, а собственные направления, называемые главными направлениями, взаимно ортогональны. Выразим инварианты (8.10) Через (Ti, <72 И (7з:

^1=<71+<72+<73, ^2=^1^2 + ^2^3 + ^3^1* ^3 = ^1^2^3-

(8.11)

Инварианты симметричных тензоров второго ранга уже встречались в лекции 4, где говорилось о том, что любая функция F(11,/2,/3) также является инвариантом. Поэтому вместо /2 часто используют и другие квадратичные инварианты, например о\ + о\ + о\, а вместо /3 — кубические

инварианты, например а\ + а\ + (см. (4.53)).

Итак, на трёх взаимно перпендикулярных главных площадках, каждая из которых ортогональна своему главному направлению, касательные напряжения равны нулю. Такая тройка площадок существует в каждой точке среды и единственна, если crI Ф а2 Ф аз Ф crI- Если, например, о\ = <72 ф <73, то на любой площадке, содержащей третью главную ось, касательное напряжение нулевое. Если же (71 = <72 = <73, то тензор напряжений в данной точке явлется шаровым и = 0 на любой площадке,

проходящей через эту точку.

Направим в некоторой точке О векторы ki ортонормирован-ного базиса вдоль главных осей.

В этом базисе

з

Pij = ^ ^ Pgfiaifigj ? (8.12)

CK=I

и согласно (8.3) компоненты вектора имеют вид

SW=CraNa. (8.13)

Построим бесконечно малый октаэдр с центром в точке О

(рис. 30) такой, чтобы нормали к каждой из восьми его граней

имели компонентами числа =Ь 1 /л/З. Грани построенного октаэдра равнонаклонены к главным осям и называются октаэдрическими площадками. Вычислим на них нормальное <j(°KT) и касательное T^okt) напряжения. Согласно (8.13) и определениям (8.5)
Напряжённое состояние в точке

93

и (8.6) имеем

3

Cr(OKT) = ^aaN(0KT)2 = ^cri + + = h ^ ^ j-g

CK=I

Т(0кт) = + 4 + aD - ^(aI + а2 + <?з)2 =

= ^(O-I-CT2)2+ (CT2-CT3)2+ ((T3-(Ji)2 = - 3^2, (8.15)

так как Л^окт^ = =Ы/\/3. Величина сг называется средним напряжением. Как видно из (8.14) и (8.15), нормальное и касательное напряжения на октаэдрических площадках выражаются через инварианты (8.11) и, следовательно, сами являются инвариантами. Их можно выбирать в качестве линейного и квадратичного инвариантов тензора напряжений.

Поставим теперь вопрос: на каких площадках в данной точке касательное напряжение достигает своего максимального значения? Очевидно, что на этих же площадках достигает максимума и квадрат касательного напряжения. Исследование удобно проводить в главных осях, поэтому с учётом (8.13) формулу (8.6) можно записать следующим образом:

{r(N)f = |S-W|2 _ (<tW)2 = - (Х>Л?)2. (8.16)

CK=I V=I '

Кроме того, компоненты единичного вектора нормали N\, N2, N3 связаны условием

Nf+ Щ+ Щ = 1. (8.17)

Составим функцию Лагранжа

f(NuN2,N3) = (^f-X(NiNi-I) (8.18)

с неопределённым множителем А и, используя (8.16), запишем необходимые условия экстремума:

' = Io1aNa - 4aaNa(a{Nf + a2N% + (J3TV32) -

< ° — 2 XNa = 0, (8.19)

^l=X-NiNi = О,

V OA

где а = 1, 2, 3.

Система четырёх уравнений (8.19) удовлетворяется в нижеперечисленных случаях.
94

Лекция 8

a) Na = =Ы, Np = N1 = 0. Три площадки с такими нормалями, как уже известно, являются главными. На них неотрицательная величина t^n\ действительно, принимает своё экстремальное, а именно минимальное (нулевое), значение.

б) Na = О, Np ф 0, к трём уравнениям:

TV7 ф 0. Тогда система (8.19) сводится

ар - 2{apNp + (T7N;

2 ((Tf3Np + G1N:

а.

= A, = А,

(8.20)

Ni+ Nl= 1.

V ¦ -1 '7

Предположим, что все главные напряжения различны, и расставим их в убывающем порядке:

(Tl > CT2 > CT3. (8.21)

В этом случае решение системы (8.20) следующее:

Щ = N21 = 1/2, (A7) = {(1; 2), (2; 3), (3; 1)}. (8.22)

Итак, необходимые требования условного экстремума, сформулированные в пункте (б), реализуются на шести различных

площадках, одна из компонент нормали к каждой из которых равна нулю, а две другие компоненты, как следует из (8.22),

равны =Ы/\/2. Геометрически это означает, что все эти площадки являются биссекторными к всевозможным двугранным углам, образованным главными площадками. На рис. 31 показаны две из шести таких площадок, они являются биссекторными к двугранным углам, которые образуют первая и вторая р j главные площадки.
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed