Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Победря Б.Е. -> "Основы механики сплошной среды" -> 21

Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.

Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 272 c.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка): osnovimehanikisploshnoysredi2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 76 >> Следующая


Пользуясь тождеством (6.42), умножим левую часть (6.43) на h/(3Vi), первый интеграл в правой части (6.43) на 1/Е, а каждый из оставшихся интегралов — на Na\/Gaa/Ea:

h

Vi

N1Vg

11

d?-

Si

N2Vcf1

-

NiVg^

dE. (6.44)

Устремим высоту h тетраэдра к нулю. Обозначим пределы:

Iim ^7 V1->о V\

=JdI-F

V1

dt

dt



Iim —

dL = S^\

1

dZ = S$.

(6.45)

Iim —

Ea

Тогда из (6.44) и (6.45) в пределе будем иметь

з

g(N) = NaVG^siaK (6.46)

CK=I

Векторы S^N\ носят название векторов истинных напряжений. Наряду с ними введём в рассмотрение векторы

напряжений Pa на площадках Ea:

pa = ^Q^S^a\ (6.47)

Из (6.46) следует, что

= N1P1. (6.48)

Чтобы разобраться в тензорном характере введённых величин, предположим, что направление вектора N совпадает с направлением нового вектора Ea контравариантного базиса, преобразующегося при переходе к этой новой системе координат по тензорному закону

E1' = Аг'гЁ\ (6.49)
Основные постулаты

79

В силу коллинеарности векторов N и E0

Ea'

N = —— . (6.50)

\Еа'\

Тогда из (6.49), (6.50) следует

NyfGafaf = Aa-Ei. (6.51)

Поэтому из (6.46) имеем

3

§(N) = = AaaSaVGaa. (6.52)

CK=I

При этом величина определяется пределом, аналогич-

ным (6.45) при S —> Ea/.

Из (6.52) видно, что величины S^a'^ не преобразуются по тензорному закону. Иначе обстоит дело с величинами Pa, входящими в (6.47). Подставляя (6.47) в (6.52), получим

pi' = (6.53)

Следовательно, величины P1 преобразуются при переходе от одной системы координат к другой по тензорному закону. Разложим векторы напряжений P1 по векторам базиса:

Рг = P13E3. (6.54)

Нетрудно видеть, что величины Р%3 являются компонентами

тензора Р:

P = P3 ® E3 = P13E1 ® E3. (6.55)

Тензор (6.55) называется тензором напряжений Коши.

Соотношение (6.48) выражают связь вектора напряжений на произвольной наклонной площадке в данной точке с векторами напряжений на трёх координатных площадках в этой же точке.

Возвратимся к интегральной формулировке (6.34) II постулата MCC и подставим в (6.34) выражения (6.35) и (6.48). Преобразуя поверхностный интеграл согласно формуле Остроградского-Гаусса,

Sw =

ViP1 dV =

V-P =

Div PdV, (6.56)

E V VV

запишем

- pF- ViP1 ) dV = 0. (6.57)

V К
80

Лекция 6

Отсюда, а также из основной леммы следуют уравнения движения сплошной среды:

d 71 —* * —* d 71 —*

р— = ViP1 + PF или р— = Div P + PF. (6.58)

LLL LLL

Векторные уравнения движения (6.58) представляют собой дифференциальную формулировку закона об изменении количества движения (II постулата МСС). Если правые части в (6.58) равны нулю тождественно, то говорят о статике. В этом случае уравнения

Div P + pF = 0 (6.59)

называются уравнениями равновесия.

Если же величины, входящие в уравнения (6.58), зависят от времени, но силы инерции pdv/dt пренебрежимо малы по сравнению со слагаемыми в левой части (6.58), говорят о квазистатике. В этом случае также пользуются уравнениями равновесия (6.59).
ЛЕКЦИЯ 7 ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ (продолжение)

Рассмотрим третий постулат механики сплошной среды — закон об изменении момента количества движения. Пусть тело в актуальной конфигурации занимает объём Г2 Є M3. Введём в рассмотрение вектор В

В =

г х (pv) dV

(7.1)

V

момента количества движения (кинетического момента) сплошной среды, заключённой в жидком объёме V с границей S (V Є О). Аналогично вектору количества движения Q он является обобщением момента количества движения материальной точки и абсолютно жёсткого тела.

Закон об изменении момента количества движения (III постулат МСС). Пусть V — произвольный жидкий объём в V Є О, a E — его граница с единичной внешней нормалью N. Тогда в любой момент времени

<№

dt

г х (pF) dV +

г х SW dE,

(7.2)

V

т. е. производная по времени от момента количества движения среды, заключённой в Vf равна сумме моментов объёмных сил, приложенных к Vf и моментов поверхностных сил, действующих на Е.

Для вывода соответствующих дифференциальных соотношений, как и ранее, сведём все слагаемые в (7.2) к объёмным интегралам, после чего воспользуемся основной леммой. По лемме 1 (6.29) имеем

= ~т~ г х (pv) dV = р(г х v) dV =

ClU ClU ClU

V V

6 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
82

Лекция 7

р—(г X v) dV =

р{у х v) dV +

у

У

У

Plr'x^l ,IV =

fx^ft I ^ (7 3)

У

Подставляя далее в (7.2) вместо выражения (6.48),

получим

г х dT =

г х PtNidL =

V,(r х Pl)dV =

v

(Vi

гхРг + г X ViPl)dV =

Ei х P1 dV +

V

V

+

г X Div P dV. (7.4)

у

С учётом (7.3) и (7.4) соотношение (7.2) может быть записано следующим образом:

dv

г х р

V

dt

pF -DivP Uy =

E1 х P1 dV.

(7.5)

V

Выражение, стоящее в скобках в левой части (7.5), в силу уравнений движения (6.58) равно нулю. Тогда по основной лемме в каждой точке

О = EiXpi = EiX EjPij = Pij Vg eijk Ek, (7.6)

откуда следует

ри = рзгв (7.7)
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed