Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
п пт
ET« = EE^J/ = 0- (6.27)
Соотношения (6.26) представляют собой уравнения неразрывности для каждого компонента многофазной среды.
Пользуясь уравнениями неразрывности для многофазных сред, выведем уравнения диффузии d с —>
р—^ + div ja = Ta, a= I,..., п. (6.28)
Для этого преобразуем левую часть (6.26):
д р Q/ 1 у ч д Pol і / —> —> —>\
— + div [paVa) = + div [paVa ~ PaV + paV) ~
(I dp л, Л дра «. -*
~ pa\])~dt + ) = ~dt+ Ja + Sr^Pa-V +
і —> dp . dpa , dp
+ PaAiVV - Ca— - PaAiVV = — + AiVJa ~ Ca ~ТГ =
at at at
d(cap) dp - (Icot -> ( .
= —-c“*+d,VJ“ = + <6'29)
Отсюда и следует (6.28).
Вернёмся к понятию силы и рассмотрим элемент массы Am, заключённый в объёме AV и содержащий точку M (рис. 24), а также суммарную силу AR, действующую на этот элемент. Выполняя предельный пе-( реход
МЧ_У AR
AV Hm — = FlM, (6.30)
ау^о Am 1 Рис. 24 AVbM
получим НОВЫЙ вектор — массовую силу F\M, приложенную в точке М. Поле F(x, t) образует векторное поле массовых
Основные постулаты
75
сил в M3 и по размерности совпадает с ускорением (“сила, отнесенная к единице массы”). Характерным примером массовых сил является ускорение сил тяготения, в частности ускорение д силы тяжести. Наряду с массовыми силами будем рассматривать объёмные силы X:
X = pF. (6.31)
Мысленно рассечём плоскостью тело, занимающее объём V (рис. 25) и находящееся в равновесии. Удалим одну из частей этого тела, например правую. Чтобы левая часть оставалась в равновесии, очевидно, к плоскости сечения нужно приложить
некоторые силы (рис. 26). Выделим на этой плоскости элементарную площадку AS и обозначим через AR силу, действующую на неё. Стягивая площадку AS к точке М, получим
Hm 4 _ AS
ДД _ g(n)
IM •
(6.32)
Вектор называется поверхностной силой в точке M на
площадке с нормалью п и имеет размерность давления (“сила на единицу площади”). Величина S^n\x,t) не образует векторного поля, так как зависит не только от точки пространства, но и от площадки, проходящей через эту точку. На последний факт указывает верхний индекс (п).
Для того чтобы найти суммарную силу, действующую на объём V, необходимо проинтегрировать по V вектор X(x,t), а для нахождения суммарной силы, действующей на поверхность S, надо проинтегрировать по S вектор S^n\x,t). В последнем случае в каждой точке S надо выбирать единичную нормаль п(ж, t), отложенную в положительном направлении. Заметим, что S(n\x,t) = —S(~n\x,t).
76
Лекция 6
Пусть V — произвольный жидкий объём внутри данного тела, a S — поверхность, ограничивающая этот объём. Назовём интеграл
Q =
pv dV
(6.33)
у
количеством движения, заключённым в объёме V.
Сформулируем теперь второй постулат механики сплошной среды, или закон об изменении количества движения.
Закон об изменении количества движения (II постулат МСС). Пусть О є M3 — объём, занимаемый телом в актуальной конфигурации, V — произвольный жидкий объём в ft, a Ti — его граница с единичной внешней нормалью N. Тогда в любой момент времени
dQ
dt
pFdV +
(6.34)
У
т. е. производная по времени от количества движения среды, заключённой в V, равна сумме объёмных сил, приложенных к V, и поверхностных сил, действующих на Е.
Интегральная формулировка (6.34) — обобщение второго закона Ньютона на сплошные среды.
По лемме 1 (6.18)
dQ_ d_ dt dt
pv dV =
АЛ Г
р— dV.
dt
(6.35)
у
у
Рассмотрим тетраэдр, построенный на векторах А = а1Ё\, в = Ъ2Е2 и C = C3E3, которые направлены вдоль базисных векторов в деформированном состоянии (рис. 27). Объём данного
тетраэдра равен одной шестой объёма косоугольного параллелепипеда, построенного на А, В и С, или, согласно (3.55),
Vi = ^ = I V7GoW. (6.36)
О о
Обозначим Si, ?2, S3 и S площади треугольников OBC, ОСА, OAB и ABC. Первые три
Основные постулаты
77
из них равны половинам площадей параллелограммов, построенных на векторах А, В, С. Обозначим также через N единичную нормаль к площадке ABC, через в — угол между векторами N
и E3, а через h — высоту тетраэдра, опущенную из точки О.
Из (3.52) и (3.46) имеем
2?i = VGb2c3\El\ = VGGnb2c3,
2 E2 = VGc3ax\E2\ = V GG22C3Ci1, (6.37)
2Е3 = VGaxb2\E3\ = V7GG33O1 б2.
Кроме того, очевидно,
V7I = IrTih. (6.38)
о
Из (6.36), (6.37)з и (6.38) получим
Е/г E3
с3 Vg33'
Так как
(6.39)
о /----------------------------- Л/" • Eq Nq
h = \С\ cos9 = C3VG33 costf, cos# = -^=J- = -J=, (6.40)
V G33 у G33
то hjc? = А^з. Подставим это равенство в (6.39):
E = —Щ=. (6.41)
JV3V7G33
Очевидно, что в (6.41) вместо индекса 3 можно поставить любой другой, т. е.
^ = E= _____________= ^2___= ^3____ (6.42)
h N1Vgtt N2Vg22 N3Vg33
Применим теперь II постулат MCC к выбранному тетраэдру, воспользовавшись формулой (6.35):
78
Лекция 6
где — поверхностные силы на координатных площадках Sck. Интегралы по Sck в (6.43) входят со знаком “минус”, ибо внешние нормали
дгН
к этим площадкам противонаправлены векторам Ea контравариантного локального базиса деформированного состояния.
