Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
где величина т определена в (6.1).
Простое и интуитивно понятное (“масса никуда не исчезает и ниоткуда не возникает”) равенство (6.8) представляет собой интегральную формулировку закона. Воспользуемся леммой о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объёму (равенство (6.4)). Получим
O = X
dt
р(х, t) dV =
I+Pdlv в
dV.
(6.9)
у у
Жидкий объём V произволен, поэтому основная лемма приводит к соотношению
dp
dt
+ р div v = 0
(6.10)
в любой точке пространства и в любой момент времени.
Основные постулаты
71
Соотношение (6.10) называется уравнением неразрывности. Оно являетя следствием первого постулата, его дифференциальной формулировкой. В дальнейшем увидим, что все постулаты MCC могут быть сформулированы либо в интегральном виде (для произвольного объёма в любой момент времени), либо в дифференциальном (в любой точке пространства в любой момент времени).
Уравнение неразрывности (6.10) записывают и по-другому. Согласно (6.7)
^ + div (pv) = 0, (6.11)
или, разделив обе части (6.10) на р,
яПпP Л. ^
———Ь divv = 0. (6.12)
Среда называется несжимаемой, если плотность не изменяется со временем:
§=»• <б-1з>
Тогда согласно (6.10)
div = 0. (6.14)
Таким образом, поле вектора скорости при движении несжимаемой среды соленоидально и поток вектора скорости через любую замкнутую поверхность равен нулю. Очевидно и обратное: если скорость удовлетворяет соотношению (6.14), то среда несжимаема.
Обратим внимание, что в определении (6.13) фигурирует полная, а не частная производная по времени. Приведём пример несжимаемого течения, в котором dp/dt ф 0. На рис. 23 изображена неограниченная сплошная среда с плотностью p(x\,t), движущаяся поступательно вдоль оси х\ слева направо. Поступательность движения обеспечивает несжимаемость, т. е. dp/dt = 0. С другой стороны, Рис. 23
находясь в сечении х\ = x\q и наблюдая за частицами, проходящими со временем через это сечение, легко видеть, что сначала шли “лёгкие” частицы, а затем “тяжёлые”, т. е. dp/dt > 0. Данный контрпример связан с неоднородностью среды по плотности. Если же материал однороден, т. е. gradp = 0, то равенства
-
— Z — XlO Xi
Il 1II Z- - -
72
Лекция 6
dp/dt = О и dp/dt = О равносильны и эквивалентны равенству P = Pq = const.
При лагранжевом описании закон сохранения массы формулируется следующим образом:
где drriQ = dm\t=Q. Учитывая формулы (3.59), (5.22) для относительного изменения объёма, из (6.15) получим
Как видно из (6.17), при лагранжевом подходе плотность можно определить, зная объёмное расширение-сжатие 0, т. е. кинематику процесса деформирования.
В дальнейшем пригодится следующая простая лемма.
Лемма 1. Пусть V — жидкий объём. Тогда
где f(x\,x2,x^,t) = f(x,t) — любая функция, для которой существуют обе части равенства (6.18).
M Преобразуем левую часть (6.18), используя лемму о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объёму:
dm = pdV = Pq dVo = drriQ,
(6.15)
(6.16)
Тогда для малых деформаций имеем
р0 = р(1 + в), или P = Poi 1-0). (6.17)
(6.18)
А '
dt
V
PfdV =
(6.19)
Ho сумма второго и третьего подынтегральных слагаемых в правой части (6.19) в силу уравнения неразрывности (6.10) равна нулю. Лемма доказана. >
Основные постулаты
73
Рассмотрим теперь многофазную сплошную среду [32,39], состоящую из п компонентов, между которыми могут протекать т химических реакций. В процессе реакций состав одних компонентов уменьшается, а других увеличивается. Поэтому, естественно, закон сохранения массы (6.8) и его дифференциальные следствия (6.10)-(6.12), записанные для каждого компонента, выполняться не будут.
Для моделирования многофазных сред примем, что каждая макрочастица с плотностью р состоит из п микрочастиц (,компонентов, так что в каждой точке пространства в любой момент времени присутствуют сразу все п компонентов, каждый с плотностью pa(x,t) (а = 1,..., п):
п
5>« = Р. (6.20)
CK=I
Назовём величину са,
п
с« = — - УЧ=1’ (6.21)
P tx
массовой концентрацией (или просто концентрацией) компонента а. Обозначив через va(x,t) скорость каждого компонента, определим скорость макрочастицы как скорость центра масс микрочастиц:
1 п
V=-^jPaVa- (6.22)
^ CK=I
Введём также для каждого компонента вектор диффузионного потока ja:
За = Paiyа ~ v). (6.23)
Суммируя все п равенств (6.23), с учётом (6.20) и (6.22) получим
п
Yja = 0. (6.24)
CK=I
Приравняем левую часть уравнения неразрывности (6.11), записанную для компонента с номером а, величине Ta, называемой образованием вещества а и равной
т
т Ct = YvCJjI, (6.25)
I= 1
74
Лекция 6
где величина vai пропорциональна стехиометрическому коэффициенту, с которым компонент а входит в 1-ю химическую реакцию; J/ — скорости химических реакций. Таким образом,
+ div (pava) = Ta. (6.26)
Суммируя п равенств (6.26), придём к уравнению неразрывности (6.11), т. е. сумма образований всех веществ в многофазной среде равна нулю:
