Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Победря Б.Е. -> "Основы механики сплошной среды" -> 14

Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.

Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 272 c.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка): osnovimehanikisploshnoysredi2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 76 >> Следующая

г) Левый тензор Алъманси M M = F~T ¦ F~l = Єі <g> Ei ¦ Ё> ® ej = Gijёг <8> ej. (4.25)

Ясно, что тензоры F, С, В, A, M могут служить мерами

деформации. Из определений (5.18)-(5.21) легко заключить, что С и M взаимообратны, так же как и В и А:

C-M = M-C = I B-A = A-B = L (4.26)

Умножив обе части равенства (4.1) на ег ® еJ' либо на E1 (g) , с учётом (4.22), (4.24) получим выражения тензоров

деформации (4.11), (4.12) в виде

J=IiC-L), э=1-а-А). (4.27)

Пользуясь введёнными обозначениями, тензоры деформации Лагранжа и Эйлера (4.27) можно выразить через тензоры дис-торсии следующим образом:

7=1 + (’Vu)T + Vu • (W)t^ , (4.28)

э = ^(vu + (Vu)T-Vu-(Vu)t^. (4.29)

Докажем далее важную в теории деформаций теорему о полярном разложении тензора второго ранга. Ниже в её доказательстве под FnC подразумеваются тензоры, не обязательно совпадающие с (4.15) и (4.22).

Теорема о полярном разложении. Произвольный тензор второго ранга F можно однозначно представить в виде О

F = Q-U = V-Q, (4.30)

где Q — ортогональный тензор, т. е. Qt = Q~l, a U и V — симметричные положительно определённые тензоры второго ранга, имеющие одинаковые собственные значения.

Для доказательства образуем симметричный тензор С =

= F-Ft (Ct = (? • FTf = (FT f -Ft = C). С помощью преоб-разования F для каждого ненулевого вектора а построим вектор Ь: Ь = а - F = Ft - а. Тогда а - С - а = а - F - Ft - а = Ъ -Ъ = \Ъ\2 > > 0, т. е. тензор С положительно определён.

О Здесь F не обязательно градиент деформации (4.15).
52

Лекция 4

Из его симметрии и положительной определённости следует, что в некоторой системе координат его компоненты образуют диагональную матрицу. Обозначим собственные значения этой матрицы через А2, , А2. Тогда в этой же системе координат

некоторый тензор V имеет компонентами диагональную матрицу с элементами Ai > О, А2 > 0 и A3 > 0, так что

G = Y-Y- (4.31)

Af 0 0 \ /Al 0 0 \

о Д2 о , И = О A2 0 . (4.32)

OOAIJ \ О О X3J

Докажем, что тензор V — искомый тензор представления (4.30). Действительно из (4.32) следует, что он симметричен и положительно определён. Осталось показать, что тензор

Q = V~l - F (4.33)

является ортогональным, т. е. его компоненты в каждой системе координат суть ортогональные матрицы. В самом деле,

Q-Qt = (V-1 ¦ F) ¦ (Fr ¦ V~T) = V~l ¦ С ¦ V~T =

= ^-1 - V-V- V~T = I-I = I

так как V~T = (V~l)T = V~x.

Построим симметричный положительно определённый тензор U\

U = Qt-V-Q, (4.34)

с помощью симметричного, положительно определённого тензора V. Очевидно, что из определения (4.34) следует (4.30). Таким образом, представление (4.30) доказано.

Для доказательства единственности этого разложения заметим, что из вида [С] (4.32) следует много других тензоров V, например,

/—Al 0 0

[Yl= [ 0 -A2 о

V 0 0 -A3y

Ho все такие тензоры, в отличие от [V] (4.32), не будут положительно определёнными.

Покажем, что тензоры V и U имеют одинаковые собственные значения. Пусть А — одно из собственных значений V и ему
Меры деформации

53

соответствует собственный вектор к, т. е. V • к = Afc, a I = к • Q, или к = I • Qt = Q-L Тогда

U-I = (Qt-V-Q)¦ I = Qt -(Y-(Q- 0) = ' (AQ • Г) = ЛГ

Если в качестве F выбрать градиент деформации (4.15), то тензором С будет правый тензор Коши-Грина (4.22), a Q, V и [7 будут называться тензором вращения, левым и правым тензорами растяжения соответственно. Кроме того,

Ь = а • F = ajej • ег ® E1 = a? SijEi = (4.35)

т. е. у векторов а и Ь, использовавшихся в доказательстве теоремы, одинаковые компоненты в базисах (? и Д.

Так как Q = V^-1 • F, то согласно (4.34)

U = Ft- V~t • V • У-1 • F = Ft • У”1 • F =

= E1 <?> е% • (^-1)? 0 ei • ej <?> Ej =

= (у~х)к1 SIS31E1 <?> E3 = (V-1Y3E1 <?> E3. (4.36)

Таким образом, базисом левого тензора растяжения V является диада отсчётной конфигурации, а правого тензора растяжения U — диада актуальной конфигурации:

V = Vijei U = UljEl <?> E3. (4.37)

В самом деле, по определению (4.31)

V2 = F-FT = ei®Ei-Ej® & = GijCi 0 ej, (4.38)

U2 = Ft -F = Ei^ei-P ® Ej = QijEi 0 Ej. (4.39)

Кроме того, из (4.33) легко видеть, что

Q = (и~%ё1 0 Ej = (V~l)ijёг 0 Ej, (4.40)

где (V~l)zj и (U-^)ij — компоненты тензоров V~l и U~l, обратных тензорам Vh U соответственно:

у-1 = (V-lYjCi ®ejt U~{ = (U~l)ijEi ® Ej. (4.41)
54

Лекция 4

Пусть задан закон движения сплошной среды:

т = Q • Г0 + с (і), (4.42)

где Q — ортогональный тензор. Движение (4.42) называется жёстким. Найдём для него тензоры деформации Лагранжа, Эйлера и все определённые ранее меры деформации. Дифференцируя (4.42) по получим

Ei = Q- ёг, F = ? ® (Q ¦ Si) = Si^ei -Qt = I-Qt = Qt.

(4.43)

Из соотношений (4.22)-(4.27), (4.43) и ортогональности Q следуют выражения для всех мер деформаций

Q = Qt • (QTf = I, А = (Qt)-1 • Q-1 = I,

M = C~l=L B = ATx=I, (4.44)

Vu = Qt-I, Vu = I-Q, V = U = I и тензоров деформации Лагранжа и Эйлера

J=^(C-I) = O, э = \(1-А) = 0. (4.45)

Результат (4.45) следует и из (4.28), (4.29). Например:
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed