Квантовая электроника - Пирс Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В главе IV встречается функция sin 6 . Буквой 6 обозначен угол. Функция sin 6 определяется хорошо известным из тригонометрии отношением сторон прямоугольного треугольника. Если катеты этого треугольника имеют длины Ii и I2l а гипотенуза — длину I = ~\fl\ + щ , то величины синусов углов, лежащих против соответствующих катетов равны отношениям
Sin G1 ~ — , Sin Q2 — у
Для того чтобы оценить численные значения различных приведенных в тексте книги физических величин, необхо-
131X -5 —4 —3 —2 —1 0,5 —0,2 -0,1
ех 0,0067 0,018 0,050 0,14 0,37 0,61 0,82 0,90
димо знать значения некоторых постоянных. Значения многих из них были указаны в тексте книги. Соберем их здесь воедино:
Число Jt = 3,1416...
Основание-натуральных логарифмов е= 2,71828...
Натуральный логарифм числа 2 1п2 = 0,639....
Постоянная Планка h = 6,62-10~34 джоуль/сек
Постоянная Больцмана k = 1,38-10~23 джоуль/град
Принято записывать большие числа как степени десяти, это делается следующим образом:
выражение IO9 (десять в девятой степени) означает 1 ООО ООО ООО, или один миллиард;
выражение IO-4 (десять в минус четвертой степени) означает 0,0001, или одну десятитысячную.
В первом случае показатель степени 9 означает, что 10 нужно помножить само на себя девять раз. Показатель степени 9 указывает также число нулей после единицы. В случае когда показатель степени отрицательный, он указывает, сколько раз единицу нужно поделить на 10.
Какое-либо число, например 238 000, мы теперь можем записать так: 2,38- IOrj а число 0,090 так: 9,0- IO"2.
Мы пишем 9,0, для того чтобы отметить приближенный характер этого числа. Выписанный после запятой нуль указывает, что его значение лежит ближе к 9,0, чем к 8,9 или 9,1, и находится где-то между ними. Оно может быть равно 8,98 или 9,04.
Все приведенные в тексте уравнения и числовые значения размерных физических постоянных записаны в практической системе единиц MKC (метр-килограмм-секунда).
§ 2. Преобразование Фурье
На протяжении книги нам приходилось несколько раз говорить о преобразовании Фурье. Это в.ажное преобразование находит себе многочисленные применения во всех
132 0 0,2 0,5 1 2 3 4 5
1 1,1 1,2 1,6 2,7 7,4 20 55 150
областях физики. В радиоэлектронике даже сложилась определенная терминология — «язык», в основе которого лежат свойства преобразований Фурье.
Метод Фурье представляет собой математический прием, позволяющий представить практически любую функциональную зависимость (например, функцию, зависящую от времени F(t)), заданную в некотором промежутке значений аргумента (от U до t2) в виде, вообще говоря, бесконечной суммы гармоник — синусоидальных /составляющих разного периода.
Читатель может наглядно представить себе существо дела, нарисовав для примера функцию, равную постоянной С в течение некоторого промежутка времени t2 — t\, а затем попробовав вписать в получившийся прямоугольник (рис. 32) синусоиды различного периода и различных амплитуд таким образом, чтобы сумма их ординат для любого значения t внутри промежутка от t\ до t2 была бы близка к постоянной С. Для этого прежде всего в прямоугольник нужно вписать полпериода синусоиды с периодом 2 (t2—^1), как изображено на рисунке, затем добавить к ней полтора периода синусоиды с правильно подобранной меньшей амплитудой, два с половиной периода с еще меньшей амплитудой и т. д. Если правильно подобрать амплитуды вписанных таким образом синусоид (кривая 3), то-даже несколько членов суммы дают хорошее приближение.
Если площадь над осью і считать положительной, а под осью — отрицательной, то сумма площадей всех вписанных в прямоугольник синусоид с уменьшающимися амплитудами должна быть тем ближе к площади прямоугольника c(t2 — ti), чем больше членов будет содержать ряд Фурье. Существуют правила, позволяющие вычислять амплитуды синусоид, составляющих ряд Фурье.
Чем короче промежуток времени t2 — t\, то есть чем меньше продолжительность «действия» функции F (t), тем больше число синусоид различных периодов необхо-
133Фиг. 32
димо использовать, чтобы с одинаковой точностью представить функцию F(t). При этом их амплитуды будут убывать медленнее, чем в случае широкого прямоугольника. Иными словами, чем короче импульс, тем большему числу колебаний разной частоты он соответствует, тем более широкий спектральный интервал он занимает. Если промежуток времени t2 — tu в течение которого действует сигнал F(t), обозначить At, а интервал частот (то есть обратных периодов синусоид) синусоид разных периодов, которые необходимо использовать, чтобы описать функцию с заданной точностью, Av, то
Av Д/> 1.
Это важное соотношение представляет собой математическую ,теорему и следует из метода Фурье. Оно является частным случаем более общего физического соотношения неопределенностей Гейзенберга, о котором говорится в книге. Если умножить обе части написанного выше неравенства на постоянную Планка h и вспомнить, что, согласно квантовой теории, произведение Mv = AE характеризует интервал изменения энергий колебаний, то есть ширину «энергетической полосы» АЕ, то