Реликтовый фон, относительность, динамика, спин - Пилепских Н.
ISBN 978-3-659-23496-5
Скачать (прямая ссылка):
p(v) = m0c0 (ch (v/c0),nv sh (v/c0)), где c0 - параметр размерности скорости, v -модуль вектора скорости частицы, a nv = v/v - единичный вектор скорости частицы в некоторой системе координат.
Аналогичны выражения для 4-вектора плотности заряда-тока с заменой массы покоя m0 на плотность заряда «покоя» q0.
Рассмотрим теперь такую частицу, в системе отсчета покоя которой она характеризуется не только массой покоя m0 (плотностью заряда «покоя» q0), но и пространственным вектором S размерности импульс (плотность тока), позволяющим говорить об ориентации точечной частицы.
Другими словами, в системе отсчета покоя 4-вектор масса-импульс такой частицы запишется
Ps (0) = {m0c0, S) (1)
98
где аргумент ноль 4-вектора масса-импульс указывает величину скорости частицы - задает систему отсчета, а индекс s - на наличие у частицы 3-вектора «ориентации» частицы S.
Тогда, 4-вектор масса-импульс этой частицы в той системе отсчета, относительно которой частица движется со скоростью v после гиперболического поворота на «угол» v/c0
( ) = [p» 1 = [ ch Vc0 ) nv sh (VIC0 ) If m0c0 1
p v l ps (v) J tnv sh (v/c0 ) ch (v/c0 ) A nsS J
примет вид
ps (v) = (m0c0 ch ( v/c0 ) + (nv, ns ) S sh (v/c0 ) , nvm0c0 sh (v/c0 ) + nsS ch (v/c0 )) ,(2)
где S = nsS; S - модуль вектора S, a ns - его единичный вектор; (nv, ns) -скалярное произведение трехмерных векторов.
Как и в случае скалярной частицы, предположим, что псевдоскалярный квадрат 4-вектора масса-импульс-направление (2) является инвариантом относительно группы преобразований при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е.
p2( v) = pi (0) = m°c0 - S2 = const . (3 )
Псевдоскалярный квадрат (2) дает
p2° (v) = m°c0° - S2 (ch° ( v/c0 ) - (nv, ns )2 sh2 (v/c0 )) . (4)
Для того, чтобы правая часть (4) оказалась равной правой части (3) нужно потребовать, чтобы (v, ns ) = ±1.
С учетом этого выражение 4-вектора масса-импульс частицы (2) примет
вид
ps (v) = (Ps0, ps ) = (m0c0 ch (v/c0 ) ± S sh ((c0 ) , nv (m0c0 sh (v/c0 ) ± S ch (v/c0 ))) , (5)
где S = |S - характеризующий частицу параметр, подлежащий определению из
сопоставления с экспериментом.
По аналогии с (5), как и в случае бесструктурной частицы, 4-вектор плотности заряда-тока для случая ориентируемой частицы, запишется в виде
js (v) = ^ps (v). (6)
mo
Другими словами, если допустить, во-первых, что частица в собственной системе отсчета характеризуется не только 3-скаляром масса покоя, но и 3-вектором «импульс» S; во-вторых, что 4-вектор ps (0) (1) при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой преобразуются по представлению гиперболического вращения и, в-третьих, что псевдоскалярный квадрат 4-вектора ps (v) является инвариантом группы гиперболических поворотов, то последует, что 3-вектор S частицы может ориентироваться или параллельно, или антипараллельно 3-вектору скорости частицы.
Таким образом, возникает «квантовое» число, которое, подобно спину, может принимать два значения: частица может ориентироваться либо по, либо против скорости ее движения в 3-хмерном пространстве.
99
Аналог известного соотношения релятивистской кинематики
бесструктурной частицы
E 2 = m02C04 + p2C0% (7)
учитывая (3), (5), примет для обсуждаемого случая релятивистской
ориентируемой частицы аналогичный вид
E2 = m^4 + p fo2, (8)
- I S2
где Es = ms (v)c02 • ms (v) = ms0 ch (v/c0 ) • ms0 = m0. 1-ГТ • Ps = ms0C0 sh (V/C0 ) •
V m0C0
Еще раз подчеркнем, что соотношения вида (7)-(8) являются тривиальным следствием того, что преобразования физических величин осуществляется гиперболическим поворотом и не зависят от конкретного представления группы.
12.3. Релятивистская проблема Кеплера для ориентируемых частиц
Рассмотрим релятивистскую проблему Кеплера в терминах прямого межчастичного взаимодействия - ориентируемая частица (индекс e) по закону всемирного тяготения взаимодействует с неподвижным центром - другой ориентируемой частицей (индекс n), т.е. предполагается, что m0n»m0e и рассмотрение осуществляется в системе отсчета центра.
Следуя [3], пространственная часть уравнений релятивистской динамики частицы с учетом вектора «ориентации» S, запишется:
dpse = G jsejsn r (9)
dT C02 r2 |r| ’
где pse(v) = nv(m0eC0sh(v/c0)±Sech(v/c0)); как и ранее dT = dty] 1 + v2/c2 - длина
траектории в единицах время, a dt - интервал времени в лабораторной системе отсчета, соответствующий элементу dT собственного времени; v - модуль вектора скорости движущейся частицы; G - гравитационная постоянная;
jsejsn = m0em0nC0 ch V ± sh V l- (v • nsn )^Sn~ ^ sh V ± ch (^^^)
C0 m0eC0 C0 J m0nC0 { C0 m0eC0 C0 ))
- псевдоскалярное произведение 4-векторов масса-импульс (5) взаимодействующих частиц; r - трехмерный радиус-вектор положения движущейся частицы относительно неподвижной (временная компонента 4-вектора положения частицы исчезает в силу того, что положения обеих частиц определяется в один момент времени).
Если в выражении (10) массы покоя m0e, m0n частиц заменить на их заряды покоя q0e, q0n соответственно, а гравитационную постоянную G в выражении
