Реликтовый фон, относительность, динамика, спин - Пилепских Н.
ISBN 978-3-659-23496-5
Скачать (прямая ссылка):
Так как речь идет о дифференциалах траекторий, то уместно ограничиться линейным приближением уравнений (1), т.е. перейти к их формальным дифференциалам, полагая v' параметром преобразований.
Тогда в линейном приближении система уравнений (1) в матричном виде запишется
Общие соображения, позволяющие сформулировать ограничения на функциональный вид преобразования A(v'), таковы.
1). Множество всех инерциальных систем отсчета можно «пронумеровать» трехмерным вектором скорости относительно произвольной, в частности, «выделенной» ИСО. Выбор «выделенной» ИСО в качестве той, относительно которой устанавливаются скорости прочих ИСО, не существенен, так как величины скоростей «прочих» ИСО друг относительно друга не зависят от того, относительно которой исходно определены их скорости [5].
s' = s'(s,r, v') , r' = r'(s,r, v' ),
(1а)
(16)
(2)
где
(3)
52
2). Множество всех векторов скоростей ИСО с операцией векторная сумма и с нулевым вектором в качестве единицы - абелева группа. Требуется найти представление этой группы линейными преобразованиями пространственновременного интервала. Для того, чтобы представление было абелево, матрицы преобразований должны быть симметричными (a12 (v') = a21 (v') и должны быть равны элементы главной диагонали al1 (v') = а22 (v').
3). Преобразование A(v') - представление группы трехмерных векторов мультипликативной группой симметричных матриц 2x2 в пространстве пространственно-временных интервалов.
4). Из существования преобразования, обратного A(v') (в виде A(-v') или A-1 (v')), следует, что преобразование A(v') должно быть невырожденным, т.е. det A(v') = ajja22 - a12a21 ф 0 .
5). Из того, что при v' = 0 должно быть ds' = dst и dr,'= dr,, следует, что Ojj (0) = a22 (0) = 1, a12 (0) = a21 (0) = 0 И det A (0) = 1.
6). Из того, что «длина элемента траектории» в системе отсчета K' увеличивается с ростом модуля относительной скорости инерциальной системы отсчета и частицы, следует, что an (v'), a22 (v'), a12 (v'), a21 (v') - монотонно возрастающие функции |v'|.
7). Рассмотрим тождество A(-v') = A-1 (v'), которое в подробной записи имеет вид
(aa (-v') a12 (-v')'l = 1 ( a22 (v') -a12 КЛ (4)
[ a21 (-v') a22 (-v')J det A (v'K -a21 (v') a11 (v') J
Из ТОГО, ЧТО a12 (-v') = -(det A(v')) a12 (v') И a21 (-v') = -(det A(v')) a21 (v'),
следует, что a12 (v') и a21 (v') - нечетные функции, a det A (v') = 1.
С учетом равенства определителя единице, из (4) следует
a11 (v') + a22 (v') = a11 (-v') + a22 (-v') , (5)
т.е., сумма элементов главной диагонали преобразования A(v')является четной функцией аргумента v'.
Для уточнения функционального вида элементов главной диагонали, подставим их в виде суммы четной и нечетной частей all (v') = a21 (v') + ^ (v'),
a22 (v') = a22 (v') + a22 (v').
Подстановка этих разложений в соотношения all (-v') = a22 (v'),
a22 (-v') = all (v') (смотри (4)), а также в соотношение (5), дает равенство значений четных частей (v') = ae22 (v') и противоположные значения нечетных частей a“ (v') = -a22 (v') элементов главной диагонали преобразования A(v').
8). Из нечетности a12 (v'), a21 (v') и обращения их в нуль при v'^ 0 следует, что a12 (v') = nva12 (v'), a21 (v') = nva21 (v'), где nv' - единичный вектор в направлении v'. Пропорциональность элементов a12 (v'), a21 (v') единичному вектору
53
направления nv, вектора скорости v' следует из разложения нечетной функции a12 (x) в степенной ряд по аргументу x с последующей заменой x на v'.
9). Потребуем сохранения преобразованием A(v) псевдоевклидовой метрики (скалярного произведения векторов в пространстве пространственновременных интервалов (элементов траектории)) AT (v)gA(v) = g, где g = (1,-1).
После элементарных преобразований, с учетом отмеченного ранее, получится
aT (v)gA(v)
ai1 + ai1) ai2a21 2ai2ai1
(6)
2a2iai 1 ai2a21 (11 ai1(
Чтобы преобразование A (v) сохраняло псевдоевклидову метрику, необходимо потребовать, чтобы a“ (v) = 0. Тогда a,, (v') = a,, (v') = a22 (v') = a22 (v').
10). Рассмотрим формальную композицию двух последовательных преобразований
( ai1 (W (^ v')) ai2 (W (^ v'))A
A(w(v" v')) = A(v') A(v') =
(w (v' v')) a22 (w (v' v'))_
(7)
где
ai1 (w (v" v')) = ai, (v")an (v') + a,2 (v")a2i (v') = aii (v")a,1 (v') + K'>nv')a!2 (v")ai2 (v') (7a)
ai2 (w (, v')) = ai1 (v")ai2 (v') + ai2 (v")a22 Ю = nv'ai1 (v")ai2 (v0 + nv'ai2 (v")ai1 (v') , (Щ
a21 (w (v", v')) = a21 (v")ai1 (v') + a22 (v")a21 (v') = nv'ai2 (v")ai1 (v') + nv'ai1 (v")ai2 (v') , (7b)
a22 ( w ( v", v')) = a21 (v")ai2 ( v') + a22 ( v") a22 ( v') = (nv'nv' ) ai2 (vl ai2 K) + ai1 ('v ) ai1 (v') , (7r)
w (v", v') - «релятивистский закон сложения скоростей» - преобразование группового параметра; nv< и nv. - единичные векторы в направлениях v' и v" соответственно.
Свойства композиции преобразований (7) таковы:
1. a,, (w(v", v')) = a22 (w(v", v')), a12 (w(v", v')) = a21 (w(v", v')) - КОМПОЗИЦИЯ —
симметричная матрица.
2. Если v' и v" параллельны (или антипараллельны) друг другу, то и w параллельна или антипараллельна им. В противном случае ориентация вектора w определяется линейной суперпозицией (76), (7в) ориентаций векторов v' и v".
