Реликтовый фон, относительность, динамика, спин - Пилепских Н.
ISBN 978-3-659-23496-5
Скачать (прямая ссылка):
Тогда траекторию i - той частицы Ct в пространстве, в определенной выше системе координат {0xyz}, можно задать в виде r,(s,) = {xi(s,),y,(s,),zt(s,)}, где функции xt (s,), y (s, ), zt (s, ) имеют непрерывные производные, и dri (s,)/dst Ф 0 для всех значений параметров вдоль кривой st е [s;1, si2 ], т.е. Ct - регулярная дуга, в частности, s,, и si2 могут равняться -~ и +^соответственно [1, с.521].
Очевидно, что траектория частицы определена неоднозначно - с точностью до преобразования параметра st. Именно, та же траектория может быть представлена в виде r,(т,) = {x,(т,),yt(т1),zt(т,)}, где параметр вдоль кривой т=т( st), например, произвольная непрерывная неубывающая функция интервала вещественной оси [,, s!2 ] такая, что s,, = т;^я) и s,2 = т;^;2).
Отметим, что траектория каждой из N частиц может быть задана независимо от положений и траекторий других материальных точек.
Приведенное определение линии в пространстве соответствует обычным представлениям дифференциальной геометрии. Для дальнейшего изложения, несколько забегая вперед, представляется существенным разделить два понятия
- траекторию частицы как линию, уже прочерченную частицей, отделить от траектории, прочерчиваемой частицей за бесконечно малый интервал времени в окрестности «данного момента времени». Эти две части одной и той же траектории одной и той же частицы (первая из них может иметь конечные размеры, вторая часть - только бесконечно малые) существеннейшим образом отличаются друг от друга в двух аспектах. Именно, первая часть траектории относится к «прошлому», а вторая часть - к «настоящему» моменту времени. Кроме того, они по разному выглядят из разных систем отсчета. Для наблюдателей из инерциальных систем отсчета, движущихся относительно исходной СОРФ, траектория Ct «прошлого» перемещается как целое параллельно себе (поступательно), а траектория «настоящего» по-разному формируется в различных ИСО.
По-видимому, с каждой частицей можно связать выделенную ИСО - ту ИСО, в которой траектория «прошлого» покоится.
Формально это значит, что в ИСО, отличных от выделенной, траектория «прошлого» зависит от времени явно только через слагаемое v't, где у' -скорость конкретной ИСО относительно выделенной ИСО, a t - время. Другими словами, если Ct ={r, (s, )| st e[s;1, si2 ]} - траектория i -той частицы в выделенной ИСО, то та же траектория «прошлого» в системе отсчета K', движущейся со
48
скоростью v' относительно выделенной ИСО, запишется в виде
C' =K(si )-V't|si si 2 ]} .
6.2. Движение частиц
Если до сих пор речь шла о формальном определении линии (траектории Ct материальной точки — частицы) в трехмерном евклидовом пространстве, то сейчас обсудим изменение положения i - той частицы вдоль траектории.
Изменение координат частицы вдоль траектории C, будем называть ее движением по этой траектории.
Областью определения координатных функций xt (s,), y, (s,), zt (s,) может быть любое непрерывное частично упорядоченное множество St при условии, что его точными нижней и верхней гранями будут si1 и si2 соответственно. В частности, таким частично упорядоченным множеством может быть, например, одномерное непрерывное подмножество декартова произведения отрезков вещественной прямой [si1, st2 ] х [, st2 ].
Иначе дело обстоит с формальным представлением движения частицы. Движение частицы, соответствующее заданной траектории Ct, может быть определено как отображение отрезка вещественной оси [ti1, tt2 ] на линию Ct в трехмерном пространстве r, (t,) = r, ( (t,)), где s, (t,)- определяемая параметрами механической системы, в частности, непрерывная неубывающая функция t, e[ta, tn ], такая, что s;1 = s, (t;1), sa = st (tn).
Так как вещественная прямая частично упорядочена относительно отношения <, на переменную tt можно смотреть как на некоторый аналог «времени», величина которого определяет положение материальной точки.
Определим скалярную величину v№ (t,) = ) - скорость изменения
параметра траектории st частицы при ее движения вдоль траектории Ct. Конечно, st (t, ) = J v, (tl)dtl - отображение «времени» в траекторию.
Так как положение i - той частицы в «момент времени» tt есть
r, (t,) = г, ((t,)), то вектор скорости ее движения будет v, (t,) = dr^(t‘) = vsi (s,)va (t,),
/ 4 dr, (s,) „
где vsl (s, )= ^ ’ - касательный вектор к траектории частицы, a vu (t,) -
определена выше.
Если в качестве параметра вдоль траектории частицы C, выбрать длину дуги s, (ds, =,]dxl + dy2 + dzf), то, как известно из дифференциальной геометрии
49
dr (s,)
[1], —‘-^- = nsi (s,) есть касательный вектор единичнои длины к траектории
ds s
частицы в точке s,. Направление касательного вектора - произвольно. Его направление удобно выбрать по направлению движения частицы. Тогда выражение для трехмерного вектора скорости частицы примет вид
vi (ti ) = v,i (ti )nsi (si ).
Другими словами, как обычно, вектор трехмерной скорости, представлен в виде произведения модуля вектора скорости va (t,) на единичный вектор направления ns , (s,).
Таким образом, чтобы частица начала перемещаться по заданной траектории, необходимо ввести новую переменную - «время» t ,, которая определяет изменение параметра траектории частицы s, = st (t,). В частности, в качестве «времени» может быть выбран сам параметр вдоль траектории s,, который, после соответствующего изменения размерности - деления на величину размерности скорости - может рассматриваться как «собственное» время частицы.
