Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
существенны и приводят к множителю Лорентц - Лоренца.
Если мы рассматриваем свободные электроны как строго независимые, то,
конечно, возможность каких-либо корреляций отсутствует. С другой стороны,
мы знаем, что вследствие принципа Паули и в силу электростатического
взаимодействия между электронами возникает стремление к удалению
электронов друг от друга, так что в среднем каждый из них окружен
сферической областью, в которой вероятность нахождения другого электрона
меньше, чем ее среднее значение по всему пространству. Поэтому можно
думать, что некоторая часть поправки Лорентц - Лоренца должна быть
введена и в этом случае. С другой стороны, Вильсон (76] пришел к
заключению, что никакой поправки вводить не нужно.
§ 2. ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ ПОЛОСАМИ
217
Наличие периодического потенциала, повидимому, увеличивает корреляции, а
следовательно, и необходимость введения поправки; в случае сильной связи
каждый электрон наверняка находится вблизи некоторого атома, а любые
другие электроны, могущие оказаться поблизости, с наибольшей вероятностью
будут находиться в соседних атомах и с очень малой вероятностью в том же
самом атоме.
§ 2. Переходы между энергетическими полосами
При рассмотрении переходов электрона из одной полосы в другую мы должны
применить уже известный нам закон сохранения волнового вектора. Строго
говоря, при этом надо было бы написать уравнение между начальным и
конечным волновыми векторами кик' электрона и волновым вектором фотона,
но если мы имеем дело не с рентгеновскими лучами, то волновой вектор
фотона пренебрежимо мал, и с достаточно хорошей точностью можно считать,
что k = k'. Таким образом, электрон, находящийся в заданном состоянии к,
в полосе проводимости может совершать оптические переходы только в те
состояния другой полосы, которые имеют то же значение к. Однако частота
поглощения зависит от к и равна
4" = Ер(к) -?,(к), (9.9)
где / и /' относятся к соответствующим полосам. Изменение энергии в
зависимости от к неодинаково в различных полосах; например, в одной
полосе точке к = 0 может соответствовать наименьшая энергия, а в другой -
наибольшая. При этом будет существовать наименьшее значение разности
энергий, а потому и минимальная частота, ниже которой процесс не может
иметь место. Однако эту частоту нелегко интерпретировать, так как она
зависит от энергетических функций обеих полос.
На опыте этот край поглощения будет более заметно выражен, если частота
превышает критическое значение (9.8), при котором часть диэлектрической
постоянной, происходящая от одной полосы, перестает быть отрицательной,
как это имеет место у щелочных металлов.
Формулы, определяющие К и а с учетом переходов между полосами, имеются в
литературе, однако ввиду того, что эти результаты мало используются на
практике, мы не будем их здесь выводить.
Если мы увеличим частоту света, то получим переходы электронов из полосы
проводимости в более высокие полосы, а также переходы из более низких
энергетических состояний в полосу проводимости или в ближайшую над ней.
Первый из этих случаев неинтересен, так как он в очень малой степени
характеризует структуру уровней; в этом случае изменение энергии
электрона опять выражается формулой (9.9), причем оба состояния находятся
в широких полосах.
218 ГЛ. 9. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ЭЛЕКТРОНАМИ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
и верхние полосы при возрастании энергии все больше и больше
перекрываются.
С другой стороны, поглощение рентгеновских лучей внутренними электронами
дает гораздо более ясные результаты, так как мы можем считать, что
полосы, относящиеся к рентгеновским уровням атома, имеют очень малую
ширину и Ej(k) в формуле (9.9) практически постоянно. Поэтому частота
поглощенного излучения с точностью до константы соответствует энергии
конечного состояния.
Величина поглощения пропорциональна плотности уровней в конечной полосе,
умноженной на вероятность перехода. Последняя пропорциональна квадрату
матричного элемента:
J* 'Ki (е • grad) фьг, dsr, (9.10)
где е - вектор поляризации излучения. Интеграл берется по всему
кристаллу. Однако, согласно теореме Блоха, подинтегральное выражение
периодично, так что с точностью до численных множителей достаточно брать
интеграл по элементарной ячейке. В каждой элементарной ячейке функция в
основном соответствует одной из внутренних атомных волновых функций.
Рассмотрим сначала этот матричный элемент при к = 0. Как мы видели из
приближения Вигнера - Зейтца (гл. 5, § 2), функция в этом случае почти в
точности изотропна. Поэтому, если функция относится к p-у ровню, то два
множителя в формуле (9.10) имеют одинаковую угловую зависимость и
интеграл не обращается в нуль. В этом случае он не очень чувствителен к
изменениям к.
С другой стороны, если нижнее состояние является s-состоянием, то при к =
0 мы получаем изотропную функцию, умноженную на градиент другой
изотропной функции, так что результат обращается в нуль при
интегрировании по углам. Поскольку матричный элемент при к = 0 обращается
