Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
отделено от всех более высоких состояний конечным интервалом. Это ясно из
того, что невозможно создать никакое другое распределение электронов без
перемещения по крайней мере одного из них в соседнюю полосу, для чего
требуется конечная энергия. Такое вещество не могло бы реагировать на
малое внешнее воздействие. Например, электроны не могли бы так
перераспределиться, чтобы компенсировать внешнюю разность потенциалов.
Поэтому такое вещество должно быть изолятором. С другой стороны, если в
последней полосе есть свободные состояния, то возникнет возможность
перемещения электронов в состояния со слегка измененной энергией, так
чтобы мог возникнуть ток. Можно также, образуя волновые пакеты, создать
неоднородное распределение зарядов. В этом случае мы имеем дело с
металлом.
В случае, когда на элементарную ячейку приходится один атом, т. е. число
состояний в полосе равно числу атомов, невозможно до конца заполнить
какое-либо число полос, если число электронов, приходящихся на один атом,
не является четным. Все элементы с нечетными атомными числами, имеющие
решетки с г = 1, должны быть металлами.
На первый взгляд можно было бы ожидать, что справедливо и такое правило:
все четные элементы с г = 1 должны быть неме-
110
ГЛ. 4. ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ
таллами. Однако это неверно, так как полосы могут не различаться по
энергиям. Для заданного к различные значения энергии Ег{к), вообще
говоря, различны, однако наибольшее значение ?г(к) вполне может оказаться
выше минимума Е1+1. Это всегда будет иметь место при очень больших
энергиях, где, как мы видели в § 3, энергетические щели у границы зоны
всегда очень малы, в то время как изменение энергии вдоль границы будет
довольно значительным.
Отсюда ясно, почему среди элементов с простой структурой преобладают
металлы. В случае более сложных структур число состояний в полосе
составляет только 1/г-ю часть атомов, и при этом более вероятно, что
такие полосы различаются по энергии. Мы увидим в дальнейшем, что чаще
всего встречаются такие структуры, для которых это имеет место.
Полосы, которые целиком заполнены, могут быть в общем случае совершенно
исключены из рассмотрения, если речь идет о проводимости и аналогичных
явлениях. Такие полосы наверняка включают состояния, соответствующие
внутренним атомным оболочкам. Частично заполненную полосу мы будем
называть полосой проводимости. Из приведенного выше рассуждения ясно, что
может возникнуть несколько полос проводимости, а в металле с четным
атомным числом и r = 1 это обязательно должно иметь место.
Особенно простым является случай, когда некоторая полоса содержит малое
количество электронов. Они будут находиться в состояниях', близких ко дну
полосы, где энергия может рассматриваться как квадратичная функция от к.
Если этот максимум энергии достигается только при одном значении к, то
энергетическая поверхность вблизи этого значения к должна иметь ту же
симметрию, что и вся структура. Если кристалл кубический, то квадратичная
функция должна быть изотропной, и поэтому
Е (k) = const-)- b (к - к0)а, (4.44)
где b - константа. За исключением изменения начала координат, эта функция
совершенно аналогична энергетической функции для свободных электронов, и
мы можем написать
где величина т* имеет размерность массы и может быть названа эффективной
массой. В таких состояниях электроны во многих отношениях ведут себя так
же, как свободные заряженные частицы с массой т*. Однако может случиться,
что энергетическая функция, обладающая симметрией кристалла, достигает
наименьшего значения в нескольких симметрично расположенных точках. В
этом случае функция будет оставаться квадратичной вблизи каждой из этих
точек, но мы уже не сможем более считать ее изотропной. Поверхности
постоянной энергии вблизи одного из минимумов будут в этом
§ 5. СИСТЕМА МНОГИХ ЭЛЕКТРОНОВ. СТАТИСТИКА
111
случае эллипсоидами, и для кубического кристалла из соображений симметрии
следует лишь то, что вращение на 90° вокруг кристаллической оси должно
переводить такой эллипсоид в соответствующий ему эллипсоид, находящийся
вблизи другого минимума.
Столь же простым является случай, при котором полоса почти целиком
заполнена и доля вакантных состояний очень мала. При этом удобно
классифицировать не заполненные состояния, а вакантные. Так как
заполненная полоса не обладает проводимостью, то можно считать, что все
процессы проводимости обязаны небольшому числу дырок, появившихся в
результате удаления электронов из целиком заполненной полосы. Отсутствие
электрона эквивалентно появлению положительного заряда. Электрическое
поле в направлении оси х переместит, согласно формуле (4.42), все
электроны в состояния с большими kg., что, согласно формуле (4.41),
вблизи максимума энергии означает убывание скорости. Вакантные состояния,
или дырки, тоже движутся с убывающей скоростью в отрицательном
направлении оси х, как если бы они были настоящими положительными
