Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем тогда найти скорость перемещения средней точки пакета. Можно,
как известно, показать, что она равна групповой скорости
Тв^а1 д?гОО (441)
v дк Ъ дк ' v}
(Под производной по вектору к мы подразумеваем вектор V, каждая
компонента которого является производной по соответствующей компоненте
к.) Далее, смещение центра волнового пакета должно равняться смещению
всего пакета в целом, и так как состояния, из которых он построен, очень
сходны, то мы можем отождествить среднюю скорость со скоростью каждого из
этих состояний. Следовательно, формула (4.41) представляет скорость
переноса, или среднюю скорость для состояния к. Из. формулы (4.15)
следует, что нормальная компонента скорости на границе зоны обращается в
нуль в соответствии с тем обстоятельством, что на такой границе
брэгговское отражение делает дальнейшее движение электрона невозможным.
Далее рассмотрим действие на электрон внешнего электрического поля. Такое
поле вызовет переходы из одного стационарного состояния в другие. В тех
слабых полях, которые практически могут быть приложены к металлу, мы
можем пренебречь переходами, при которых меняется I, поскольку такие
переходы требуют значительно большего изменения энергии электрона, чем
может передать внешнее поле со сколько-нибудь заметной вероятностью
(случай электрического пробоя диэлектриков мы здесь не рассматриваем).
Поэтому можно предположить, что единственным результатом действия поля
является изменение величины к. Далее, если к есть средний волновой
108
ГЛ. 4. ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ
вектор волнового пакета, то изменение энергии электрона со вре* менем
составит
dEi dk dk * dt '
С-другой стороны, работа, производимая полем за единицу времени, равна
eV . р = L дЕ' . р
ev г h дк г'
где правая часть берется из (4.41). Из закона сохранения энергии следует,
что эти две величины должны быть равными, т. е. уравнение
<4-42)
должно давать величину изменения к под влиянием поля. Этот результат
очевиден для свободных электронов, для которых величина ftk с точностью
до аддитивной константы равна их импульсу.
То, что это соотношение должно всегда выполняться, сначала вызывает
удивление, если взглянуть на изображенные на фиг. 8 или 11 кривые, из
которых видно, что всегда имеются области, где наклон энергетической
кривой уменьшается при возрастании к. Так как наклон определяет среднюю
скорость, то отсюда следует, что поле может ускорить электрон в
направлении, противоположном обычному. Это становится более понятным,
если мы вспомним связь с явлением диффракции. Благодаря полю электрон
приближается к состоянию, в котором полное отражение в среднем приводит
его к остановке.
По аналогии, можно ожидать, что под влиянием магнитного поля к будет
меняться по закону
§- = ?"ХН, (4.43)
где с - скорость света, v - скорость (4.41), а знак X обозначает
векторное произведение. Эта формула для многих случаев может считаться
правильной. Однако в ней не учитывается тот факт, что в магнитном поле
электрон описывает замкнутые орбиты (в плоскости, перпендикулярной к
направлению поля) и что поэтому энергетические уровни будут частично
дискретными. Это обстоятельство, которое существенно в теории
диамагнетизма, не может быть описано как некоторое ускорение. Мы вернемся
к этой задаче несколько позднее.
§ 5. Система многих электронов. Статистика
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы рассмотреть распределение электронов
по стационарным состояниям, описанным в предыдущих параграфах. Чтобы
сделать это строго, пришлось бы принять
§ 5. СИСТЕМА МНОГИХ ЭЛЕКТРОНОВ. СТАТИСТИКА
109
во внимание взаимодействие электронов друг с другом, но это привело бы к
невероятным математическим трудностям. Неумение учитывать взаимодействие
электронов является главным источником неуверенности в приложениях
электронной теории металлов. В некоторых задачах мы будем в состоянии
определить, как будет влиять электронное взаимодействие, и даже сможем
приближенно учесть это взаимодействие, но во многих случаях остаются
большие сомнения.
Итак, пока примем, что электроны не взаимодействуют между собой, и будем
лишь считать, что их средний заряд учтен в нашем определении потенциала.
Однако мы должны принять во внимание принцип Паули, согласно которому в
одном квантовом состоянии может находиться самое большее два электрона с
противоположными спинами. Состояние, соответствующее наименьшей энергии
всей системы, получается при заполнении Nr г! 2 наинизших состояний (как
и раньше, N-число элементарных ячеек в кристалле, г - число атомов в
ячейке, a z - число электронов на атом). Энергию самого высокого
состояния мы будем обозначать через т)0. Тогда возникнут две различные
возможности. Либо т)0 совпадает с верхней границей одной из
энергетических полос, так что эта полоса целиком заполнена, а следующая
за ней совершенно пуста, либо же ч;0 лежит внутри полосы.
В первом случае состояние с наинизшей энергией не будет началом
непрерывного энергетическое спектра для всего кристалла, поскольку оно
