Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
выгодное значение а соответствует разностям энергии примерно того же
порядка величины, как и при столкновениях электронов с фононами, а
поэтому отношение ширины щели к радиусу сферы имеет порядок отношения
скорости звука к скорости электронов, т. е. порядка 10-3.
Уменьшение энергии можно оценить следующим образом: знаменатель в формуле
(11.10) имеет порядок квадрата энергии фонона; в числителе первого
множителя стоит энергия фонона, а квадрат матричного элемента (включая
множитель й), согласно оценке (6.62), имеет порядок D, где D-какая-то
электронная энергия. Число членов, которые существенны в сумме (11.10),
равно числу пар состояний, которые лежат внутри оболочки или внутри
такого же поверхностного слоя основной сферы. Это дает величину,
пропорциональную ТУ2 (йм)2//)2, и, следовательно, уменьшение энергии
взаимодействия порядка
(11.11)
С другой стороны, невозмущенная электронная энергия имеет наименьшее
значение для обычного распределения Ферми, т. е. для сплошной сферы, и
при возникновении слоя к ней добавляется величина, которая тоже имеет
порядок (11.11), так как в данном случае Nhm/D электронов получают
добавочную энергию порядка йю.
g 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФРЕЛИХА - БАРДИНА
249
Основное состояние будет соответствовать сфере с дополнительным слоем или
сплошной сфере в зависимости от того, что больше: изменение энергии
взаимодействия или изменение невозмущенной энергии. Неизвестно, можно ли
построить состояние с еще меньшей энергией, но по порядку величины
изменение энергии будет не больше, чем величина (11.11).
Согласно рассуждению, можно думать, что некоторые металлы при 7 = 0 будут
находиться в состоянии, в котором электронное распределение будет заметно
отличаться от обычной модели Ферми. При повышении температуры
распределение сначала останется таким же, но число слабо возбужденных
состояний металла будет меньше, чем обычно, так как теперь энергия будет
очень чувствительной к деталям распределения электронов и небольшое
смещение электронов в А-пространстве будет иметь существенное значение.
Поэтому можно отметить, что энтропия этого состояния будет ниже энтропии
нормального состояния; при повышении температуры настанет момент, когда
стабильным окажется нормальное состояние. Пока еще этот вопрос детально
не исследован.
Величина (11.11) наверняка имеет тот жэ порядок, что и наблюдаемая
разность энергий (11.6) при 7=0. Поскольку электронная теплоемкость в
сверхпроводящем состоянии при низких температурах много меньше
теплоемкости нормального состояния и ввиду того, что в точке перехода
отсутствует скрытая теплота, электронная энергия в нормальном состоянии
при Т-Та должна примерно равняться разности энергий при 7=0.
Определяя последнюю по формуле (11.11), мы получаем отсюда правильный
порядок величины для Тс-
Если мы сравним различные изотопы, то увидим, что величина (11.11)
обратно пропорциональна массе атомов. Это связано с тем, что частоты
колебаний обратно пропорциональны квадратному корню из массы; так как
тепловая энергия электронов в нормальном состоянии пропорциональна Т2, то
Тс будет обратно пропорционально квадратному корню из массы. Такой
результат соответствует наблюдаемому изотопическому эффекту, хотя
степенной закон -Ж-1/" пока еще точно не установлен.
Теория, основанная практически на том же самом механизме, но использующая
другой приближенный метод, была развита Бардином [2] (см. также [3]). В
этой теории вместо формулы (11.7), заимствованной из теории возмущений и
весьма сомнительной для случая малых энергетических знаменателей,
применяется вариационный метод. Результаты весьма сходны с полученными
Фрелихом. Однако в этом методе для каждого электрона, взаимодействующего
с колебаниями решетки, строится отдельная волновая функция, для чего
применяются волновые функции, не являющиеся взаимно ортогональными;
поэтому этот метод тоже не может считаться строгим.
250
ГЛ. И. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
§ 3. Действие магнитного поля
Некоторое указание для описания эффекта Мейсснера было дано Лондоном
[36]. Взаимодействие электрона с аксиально симметричным магнитным полем
может быть записано в виде [см. формулу (7.10)]:
7*** + ?&• <11Л2>
где вектор-потенциал А имеет компоненту только в азимутальном
направлении, а р9 - момент относительно оси. Если поле, в котором
движется электрон, обладает аксиальной симметрией, то момент рч имеет
дискретные значения. Если мы рассмотрим состояние с р^- 0 или некоторое
число электронов, для которых р9 в среднем равно нулю, то их энергия в
поле увеличивается только благодаря последнему члену. Если их
плотность в пространстве п приблизительно
постоянна, то полная плотность энергии будет зависеть от
поля
только благодаря члену
тЗг* <11ЛЗ>
и ток будет равен
дЕ пеЫ ... ...
J = -dAz И&Г- <11Л4>
Если этот результат подставить в уравнения Максвелла, то окажется, что
векторный потенциал будет экспоненциально убывать от поверхности вглубь
тела, причем средняя глубина проникновения имеет порядок
