Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пайерлс Р. -> "Квантовая теория твердых тел" -> 105

Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.

Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел — М.: Иностранная литература, 1956. — 260 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdihtel1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 .. 111 >> Следующая

который, как мы видели, существенен для появления сопротивления в
идеальном металле. Однако даже тогда, когда реальные переходы невозможны,
надо принять во внимание виртуальные переходы, при которых энергия не
сохраняется, т. е. электрон может находиться некоторое время в состоянии
к', и при этом ему сопутствует фонон.
Такие виртуальные переходы всегда приводят к появлению энергии
возмущения. Изменение энергии электронного состояния равно
АЕ (к) =_____- ^ I ft7.! dU?'-?)l2_______________ (117)
2* Ju ?(k') + fi<"(f,s) - ?(k)' u
Jt'.s
где матричный элемент в числителе дается формулой (6.48), a f - волновой
вектор фонона, удовлетворяющий закону сохранения (6.46). Для простоты я
учел только переходы внутри одной полосы и опустил индекс /.
Уравнение (11.7) соответствует обычному результату второго приближения
теории возмущений. Члены суммы, для которых знаменатель положителен,
описывают такие виртуальные переходы, когда сумма энергий фонона и
электрона больше Е (к); эти члены стремятся сделать энергию возмущения
отрицательной, в то время как члены с отрицательными знаменателями
увеличивают полную энергию.
Обращение в нуль знаменателя соответствует реальному переходу. Если такие
члены действительно возникают, то выражение (11.7)
$ 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФРЕЛИХА-БАРДИНА
247
является неоднозначным, но из общей теории известно, что сумму надо
понимать в таком смысле, как будто знаменатель имеет малую отрицательную
мнимую добавку. Заменяя суммирование интегрированием, мы можем выразить
результат как главное значение интеграла, которое является действительным
и конечным, плюс половина вычета в полюсе, который является мнимым.
Мнимая часть энергии в состоянии к соответствует экспоненциальному
затуханию со временем и отражает тот факт, что благодаря реальным
столкновениям электрон проводит в состоянии к лишь конечный промежуток
времени.
Однако при обсуждении свойств нижнего состояния всей системы такие
реальные столкновения несущественны, так как в нижнем состоянии
отсутствует энергия, которая могла бы пойти на излучение фонона.
До сих пор энергия возмущения (11.7) не представляла большого интереса,
так как она вносила лишь очень малую поправку в электронную
энергетическую функцию, которая и сама по себе не известна с большой
точностью.
Однако, как отметил Фрелих, этот эффект вызывает взаимодействие между
электронами. Если имеется несколько электронов, то мы должны исключить из
суммы в формуле (11.7) все состояния к', которые уже заняты, так как,
согласно принципу Паули, электрон не может совершать переход в занятое
состояние независимо от того, идет ли речь о реальном переходе или о
виртуальном. Следовательно, поправка к суммарной энергии всех электронов
в этом приближении равна
± V |(k'|illk,s)|"B(k)[l-n(k')J П1оч
2л" Li ?(Ю - ?(k') - s) ' ( )
к, к', а
где га (к) - числа заполнения.
Теперь разделим эту поправку на две части. Часть, происходящая от единицы
в числителе, равна выражению типа (11.7), где сумма берется по всем
занятым состояниям и, таким образом, эта часть эквивалентна малой
поправке в энергетической функции. Другая часть имеет вид
й Vi I (k71 >11 k, s) |2 я (к) га (к')
?(к)- ?(к') - s) ' (11,9)
к, к', а
Это выражение мы можем записать в более симметричной форме, комбинируя
каждый член с выражением, получаемым из него перестановкой к и к'. Такие
два члена имеют одинаковые матричные элементы и относятся к
противоположным фононным векторам, которым соответствует одна и та же
частота. При этом получаем
й_ V s)l(k'M|k, s) Pn(k)Mk') m
2л Lk [?(k') - ?(k)]2 - s)]2 •
k, k', a
348
ГЛ. 11. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Это выражение очень чувствительно к распределению электронов. Два
электрона, обладающие одинаковой энергией, но движущиеся в разных
направлениях, дают положительный член в (11.10). Однако если их энергии
слегка различны, причем как раз настолько, насколько нужно для реального
перехода, то знаменатель меняет знак. Для еще ббльших разностей энергии
знаменатель остается положительным, что приводит к уменьшению полной
энергии.
Поэтому рассмотренное взаимодействие делает более выгодным такие
электронные распределения, в которых меньшее количество электронов
занимает смежные точки k-пространства и большее количество разделено
расстояниями, достаточными для того, чтобы сделать знаменатель формулы
(11.10) положительным.
Фрелих вычислил интеграл, получающийся из суммы в (11.10), для случая,
когда электроны могут рассматриваться как свободные, а волны решетки -
как волны в изотропной среде. Он рассчитал энергию взаимодействия для
состояния, в котором электроны занимают сферу вокруг начала координат в
k-пространстве, а кроме того, концентрический сферический слой, у
которого внутренний радиус больше радиуса сферы на величину а, равную
толщине слоя. Для о = 0 это сводится к сплошной сфере и, следовательно,
дает распределение Ферми при 7=0. Фрелих нашел, что энергия
взаимодействия для щели конечной ширины больше, чем при а = 0. Наиболее
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed