Фоторефрактивные кристаллы в когерентной оптике - Петров М.П.
Скачать (прямая ссылка):
В векторной, более общей форме записи, это условие выражается
Ks = Kh±.K, (5.3)
где Кн и K.s — волновые векторы плоских считывающей и продифра-гировавшей световых волн. Фактически это означает, что для на-
блюдения эффективной брэгговской дифракции вектор решетки К должен связывать точки на поверхности волновых векторов [5.5] исходной, пространственно-однородной среды (рис. 5.1, б).
Основная количественная характеристика, определяемая при теоретическом рассмотрении дифракции на объемной решетке (5.1),—это максимальная интенсивность продифрагировавшего пучка, т. е. фактически дифракционная эффективность решетки т). Очень важно также знать условия брэгговской дифракции, при которой достигается этот максимум,и провести анализ влияния отклонения параметров считывающего светового пучка (его угла падения и длины волны) от их брэгговских значений (5.2) на интенсивность дифракции, т. е. анализ селективных свойств объемной голограммы. При рассмотрении этих и аналогичных проблем в настоящее время широко используются два основных подхода, а именно описание процесса дифракции в кинематическом и динамическом приближениях.
5.1.1. Кинематическое приближение
Кинематическое приближение (см., например, [5.6—5.8]) применимо только в случае малых значений дифракционной эффективности решетки (г| <? 1), когда можно пренебречь изменением ампли-
77
а б
Рис. 5.2. Неопределенность волнового вектора синусоидальной решетки, записанной в ограниченном объеме LxX Ly X Lz (а), и векторная диаграмма, поясняющая выявление брэгговской компоненты в спектре пространственных частот'решетки, ограниченной вдоль оси г (Lx, Ly-+- оо) (б).
туды считывающего светового пучка при его распространении через объем среды, занимаемый решеткой. Основное внимание в этом подходе обращается на вычисление амплитуды продифрагировавшей волны на выходе решетки, а не на рассмотрение непосредственно процесса распространения света в ее объеме. В вычислительном отношении кинематическое приближение оказывается достаточно простым, оно допускает весьма наглядную геометрическую интерпретацию и потому оказывается чрезвычайно эффективным инструментом при анализе широкого круга дифракционных явлений.
Фактически основой данного подхода является переход от рассмотрения решетки (5.1) к ее трехмерному спектру в области пространственных частот (К'х, Ку, Кг) (рис. 5.2, а). В частности, для однородной решетки, занимающей объем среды с размерами LxX X LyX Lz, распределение пространственных фурье-компонент описывается известным выражением [5.2, 5.8, 5.91:
Д~ей (Кх, К;, <) ос sine (к’х- К,)] X
х sinc (К; _ sine [A {K'z _ . (5.4)
Дифракция плоской световой волны Кн на такой решетке рассматривается как совокупность независимых дифракционных процессов на брэгговских спектральных компонентах приведенного распределения (т. е. на тех, на которых выполняется строгое условие Брэгга
KJ = K# ± К‘) с комплексными амплитудами, пропорциональными амплитудам соответствующих фурье-компонент (рис. 5.2, б).
78
5.1.2. Динамическое приближение
Такой подход [5.1, 5.3, 5.10—5.12] позволяет описывать толстые решетки с дифракционной эффективностью, приближающейся к единице, на которых может наблюдаться практически полное преобразование считывающего светового пучка в восстановленный. Анализ процессов дифракции в динамическом приближении может проводиться различными способами, из которых метод связанных волн получил наиболее широкое распространение. Этот метод основан на анализе системы связанных линейных дифференциальных уравнений для амплитуд считывающей и продифрагировавшей световых волн. Как правило, в рассмотрение включаются лишь две указанные ^брэгговские) световые волны, н в большинстве случаев это дает результаты, с хорошей точностью согласующиеся с экспериментальными данными.
Выведем систему уравнений для связанных волн, описывающую дифракцию плоской световой волны на элементарной синусоидальной фазовой решетке пропускающего типа (рис. 5.1, а). Рассмотрение проведем для случая брэгговского падения, когда строго выполняется векторное равенство (5.3). Общее решение для световой волны в объеме решетки ищется в виде суммы двух плоских световых волн — считывающей и продифрагировавшей:
А (г) = R ехр (—(Кнг) + S ехр (—iKsr), (5.5)
комплексные амплитуды которых R и S изменяются по толщине решетки, т. е. являются функциями координаты z. Световое поле А (г), очевидно, должно удовлетворять волновому уравнению [5.5, 5.13] для среды с синусоидальной фазовой решеткой (5.1):
]Л ^ (нг-) ^ЛеИ cos j ^ ^ =
Независимое рассмотрение слагаемых с экспоненциальными множителями ехр (—t‘KHr) и ехр (—t'Ksr) позволяет преобразовать (5.6) в систему двух уравнений следующего вида:
I Л + (8°J1 ^ -г) ехр (~('кяГ) + ((г) ехР (—(’Кдг) = 0,
L V Я ' J V Л ’ (5.7)
ГА + (-у-) е“] S (г) ехР (—('Ksr) + (“Y") (г) ехр (—(Ksr) = 0.
Дальнейшее упрощение основано на предположении о малости амплитуды решетки Ле05 <? е“, прямым следствием которого является сравнительно медленное изменение комплексных амплитуд R и S по толщине решетки. Это позволяет пренебрегать вторыми производными d2R (z)!dz2 и d2S (z)/dz2 по сравнению с (2л/Х) (OR (z)/dz) и (2л//.) (dS (z)/dz). В результате для пропускающей решетки с перпендикулярной относительно передней грани образца ориентацией слоев система уравнений (5.7) преобразуется к достаточно простому
