Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Переломов А.М. -> "Интегрируемые системы классической механики и алгебры" -> 21

Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.

Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры — М.: Наука, 1990. — 240 c.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemiklassmehaniki1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 88 >> Следующая

тех случаях, когда не удается применить метод проектирования,
интегрирование уравнений движения представляет нетривиальную проблему,
решение которой удается получить лишь в немногих случаях.
*) Само название - метод изоспектральной деформации - было введено в
работе Мозера [251 ].
49
1. Начнем с рассмотрения свободного движения частицы на плоскости (?i
>Яз) ¦ Уравнения движения здесь имеют вид
q = p, р = 0. (1.10.5)
Для дальнейшего нам будет более удобно представить вектор q в виде
вещественной симметрической матрицы второго порядка
q~>q = (qiol + q3o3), (1.10.6)
где о 1 и о3 - матрицы Паули:
"'=(¦ о)- "-(о -,) (1107)
Л ч
С другой стороны, мы можем представить матрицу q(t) в виде
q(t) = U(t)QU~l(t), (1.10.8)
где
/Я 0 \ / cos(<p/2) sin(<p/2) \
Q = (I ) > ^(0 = и№) =( . Т' У ' ) > (1 • ю.9)
\0-я / \ -sin("p/2) cos(<p/2) /
я=я(.0 = у/я21 +я1> ^=^(0-
Заметим, что матрица U(ip) описывает поворот на угол в
плоскости
(Я 1. <?з)- Дифференцируя по времени выражение (1.10.8) для q(t),
полу-
чаем
q=U(t)L(t)U~l(t) = p, (1.10.10)
где
L=Q + i\M,Q], (1.10.11)
М= -iU~l U=iUU~l. (1.10.12)
Дифференцируя теперь выражение (1.10.10), приходим к уравнению
L+i[M,L]= 0, (1.10.13)
т.е. к уравнению Дакса. Заметим, что помимо уравнения Лакса (1.10.13)
должно также выполняться и уравнение (1.10.11). Нетрудно проверить, что
если матрицы L и М имеют вид
L=(P M=i( 0 -2 "Л О1014)
\ т р / V -т о /
то уравнение (1.10.11) выполняется, а уравнение Лакса (1.10.13) при этом
эквивалентно уравнениям Гамильтона для системы с гамильтонианом
Я= i (p2+fV2)- (1.10.15)
Отметим, что аналогичная конструкция известна и для системы частиц с
парным взаимодействием вида v(q) = g2Я~2 - Она была найдена в работе
[251].
50
2. Рассмотрим динамическую систему в пространстве Лг = {дс} -
пространстве эрмитовых положительно определенных матриц второго порядка.
Пространство X является однородным: на нем транзитивно действует группа G
= { g } = SL (2, 'С) - группа комплексных матриц второго порядка. Это
действие дается формулой
g: x^gxg*. (1.10.16)
На пространстве X существует G-инвариантная метрика
ds2' = tr(x_1 dx x_1 dx), (1.10.17)
и уравнения для геодезических для этой метрики можно записать в виде
d
- (x"1x+xx'1)=0. (1.10.18)
dt
Нетрудно проверить, что матрица х(г)> определенная согласно формуле x(t)
= b exp[2at}b+, bG.SL(2, С),
(1.10.19)
а =а, tra=0,
является решением уравнений (1.10.18).
С другой стороны, эрмитову положительно определенную матрицу x(t) можно
представить в виде
¦х(0= U(t)exp(Q(t))U-' (t), (1.10.20)
где U(t) - унитарная матрица. Вычисляя с помощью (1.10.20) величины уча
ем
= U{t)L{t)U~\t), (1.10.21)
I
где
L(t)=P+ -{ехр(-б)Мехр(0-ехр(0ЛГехр(-0)}, (1.10.22)
М= -iU'\t)U(t). (1.10.23)
Дифференцируя (1.10.21) по времени, приходим к уравнению Лакса
L+i[M,L]= 0. (1.10.24)
Как и в предыдущем случае, нетрудно проверить, что если матрицы L и М
имеют вид
/ р gcth"?\ ig / 0 1\
1=( ), М = -~ ( ), (1.10.25)
\gcth<7 -р / sh V-1 0/
то уравнение (1.10.22) выполняется, а уравнение Лакса (1.10.24) при этом
эквивалентно уравнениям Гамильтона для системы с гамильтонианом
Н= Х- (р2 +g2sh~2q). (1.10.26)
Представление Лакра для общего случая системы п частиц, взаимодействую-
51
хх 1 их 1 х, получаем
щих посредством парного потенциала u(q) = #2sh-2<7, было найдено в
работах [251, 133], см. гл. 3.
3. В качестве последнего примера рассмотрим ту же динамическую систему
в пространстве эрмитовых положительно определенных матриц второго
порядка, что и в предыдущем разделе, но вместо формулы
(1.10.20) воспользуемся другой формулой:
х (0 = г (0 ехр (2 Q (t)) z* (t), (1.10.27 )
где z(t) - верхняя треугольная матрица. Вычисляя с помощью (1.10.27)
величину хх~1, получаем
xx'l=zLz'1, (1.10.28)
где
L =/>+М + ехр(0)М+ехр(-0), (1.10.29)
M = z'lz. (1.10.30)
Дифференцируя равенство (1.10.28) по времени с учетом того
обстоятельства, что х(г) является геодезической, получаем уравнение Лакса
L=[L,M]. (1.10.31)
Матрицы L и М, выраженные через динамические переменные ри q, даются
формулами
/ р exp(2q)\ (0 ехр(2<?) \
П. -л ) ""(о о )• (1ЛО'32)
При этом уравнение (1.10.29) удовлетворяется, а уравнение Лакса (1.10.31)
эквивалентно уравнениям движения системы с гамильтонианом
H=ti(p2 +ехр(2<?)). (1.10.33)
Метод проектирования справедлив и для цепочки Тоды, состоящей из
произвольного числа частиц [256, 97]. Представление Лакса для цепочки
Тоды, состоящей из произвольного числа частиц, было найдено ранее в
работах [168, 88], см. гл. 4.
1.11. Гамильтоновы системы на орбитах коприсоединенного представления
групп Ли
Как было показано ранее (см. раздел 1.4), орбиты коприсоединенного
представления групп Ли являются однородными симплектическими
многообразиями, и потому они - естественные кандидаты на фазовые
пространства гамильтоновых систем.
В этом разделе мы рассмотрим гамильтоновы системы с фазовыми
пространствами такого типа со стандартной скобкой Ли-Пуассона на них.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed