Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
46
где
= b2 = - 1, (а, b) = 0. (1.9.18)
Отсюда следует явное выражение для интересующей нас величины q(г) : q(t)
= Arch(ch q0 • ch r). (1.9.19)
Обобщение на случай нескольких степеней свободы дано в [95].
4. Пусть частица единичной массы движется по геодезической на двумерной
сфере
S2 = { х: х2 = *о + х\ + хг ~ 1) • (1.9.20)
Проекцию тг зададим формулой
q = я ¦ х = arccos х0. (1.9.21)
В этом случае после проектирования приходим к системе с гамильтонианом
Р2
Н=- +g2sin-2<7, 0<q<ir. (1.9.22)
2
Интегрируя уравнения для геодезических на сфере, получаем
х(г) = a cos г + b sin г, (1.9.23)
где
а2 = а2 + а\ + а\ - 1, b2 = 1, (ab) = 0.
Для интересующей нас величины q (г) отсюда получаем выражение
q (г) = arccos (cos q0 - cost). (1.9.24)
(Относительно обобщения см. работу [95].)
5. Рассмотрим движение по геодезической на однополостном гиперболоиде
Й2 = (х: х2 =xl - х] - х\ = - 1} . (1.9.25)
Проекцию я определим формулой
q = л ¦ х = Arsh х0. (1.9.26)
Проектирование приводит нас к системе {М, со, Н} с гамильтонианом Р2
Н = g2ch~2q. (1.9.27)
2
Заметим, что в отличие от предыдущих случаев на однополостном
гиперболоиде есть три различных вида геодезических. В соответствии с этим
мы получим три различных выражения для величины q (г) .
а) Начальные условия таковы, что
x(r)=achr + bsh>, (19.28)
я2 = al-а2 - aj = - I, Ъ2 = 1, (a,b) = 0.
47
В этом случае
q(t) = Arsh(a • sh г), a>l. (1.9.29)
б) Пусть осуществляется случай
х(г) = а cos г + b sin г, (1.9.30)
а2 = - 1, Ь2 = - 1, (а, Ь) = 0,
тогда
q(t) = Arsh(a sin г). (1.9.31)
в) Наконец, если
х(г) = а+Ьг, а2 = - 1, Ь2 = 0, (а, Ь) = 0, (1.9.32)
то
q(t) = Arsh(ar). (1.9.33)
Обобщение этих формул на случай нескольких степеней свободы было найдено
в работе [257].
6. Как и в случае 3, рассмотрим свободное движение по верхней полости
двуполостного гиперболоида, но вместо радиальной проекции (1.9.15)
возьмем так называемую орисферическую проекцию:
q = п ¦ х = 1п(х0 - х,). (1.9.34)
После проектирования приходим к системе с гамильтонианом
Н= 'Ар2 +g2exp(- 2q), (1.9.35)
эквивалентной так называемой цепочке Тоды для двух частиц.
Воспользовавшись формулой (1.9.17) для геодезического движения
x(r) = ach г + b sh г, (1.9.27)
в которой нам удобно положить
а=(в0."1,0), Ь = (0,0,1), al-aj = l, (1.9.36)
получаем явное выражение для величины q (г) :
q(r) = ln(a ch г), a = y/2g, E=Yl. (1.9.37)
Обобщение этой формулы на случай цепочки Тоды для произвольного числа
частиц, а также ряда модифицированных цепочек Тоды было дано в работах
[256,222,97] (см.гл.4).
1.10. Метод изоспектральной деформации
Одним из важнейних методов изучения интегрируемых динамических систем
является так называемый метод обратной задачи рассеяния, или метод
изоспектральной деформации. Этот метод возник в известной работе П.Лакса
[233] в связи с изучением уравнения Кортевега-де Фриза
Эн Эн
иг = иххх+иих = 0, н = н(х,г), их=--, - ,
Эх Эг
начатым в знаменитой теперь работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры
[177]. Отметим еще важную работу В. Захарова и JI. Фаддеева [77] , где
было показано, что уравнение Кортевега - де Фриза является
бесконечномерной гамильтоновой системой.
К динамическим системам с конечным числом степеней свободы метод
изоспектральной деформации был применен в работах [168, 88, 251] *). Идея
метода очень проста. Пусть динамическая система описывается уравнениями
xa=Fa(x). (1.10.1)
Предположим, что нам удалось найти пару матриц L и М (так называемую L -
М-пару) , элементы которых зависят от динамических переменных ха так, что
при этом уравнения (1.10.1) эквивалентны уравнению
L=[M,L]. (1.10.2)
Тогда из (1.10.2) следует, что матрица L (г) в процессе эволюции
подвергается преобразованию подобия,
(1.10.3)
?/-1(г)=?7+(г), M=UU~l.
Следовательно, собственные значения матрицы L (г) от времени не зависят,
или, что эквивалентно, матрица L (г) с течением времени испытывает,
изоспектральную деформацию. Таким образом, собственные значения матрицы L
(г), или, что часто бывает более удобно, симметрические функции от
собственных значений, например величины
Ik=k~ltr(Lk), (1.10.4)
являются интегралами движения. Если при этом удается найти достаточно
много функционально независимых интегралов движения и показать, что они
находятся в инволюции, т.е. что скобки Пуассона любых двух интегралов
равны нулю, то рассматриваемая система является вполне интегрируемой.
Интересно отметить, что этот метод применим почти ко всем известным
вполне интегрируемым системам. В данном разделе мы ограничимся
применением метода изоспектральной деформации к простейшим системам,
рассмотренным в предыдущем разделе. Таким образом, мы будем предполагать
дополнительно, что к рассматриваемым системам применим метод
проектирования. При этом, как мы увидим далее, мы автоматически получаем
также и представление Лакса.
Следует, однако, иметь в виду, что представление Лакса известно в
настоящее время для более широкого класса динамических систем, однако в
