Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Переломов А.М. -> "Интегрируемые системы классической механики и алгебры" -> 18

Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.

Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры — М.: Наука, 1990. — 240 c.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemiklassmehaniki1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 88 >> Следующая

отображение F: М -*|Rfc.
Здесь мы укажем теорему Ли-Картана в формулировке работы [3]. Теорема
1.8.7. Предположим, что точка a G[Rfc не является критическим значением
отображения F и в ее окрестности ранг матрицы II с,у II постоянен. Тогда
в малой окрестности U С (В* точки а найдутся к независимых функций <ps: U
-*fR таких, что функции (r)s=(ps о F: 7V-*IB, N= = F~l ({/), удовлетворяют
следующим соотношениям:
(Ф,, Ф2(Фа,-!, Фа,> =1, (1.8.14)
а все остальные скобки Пуассона (Ф,-, Фу} = 0. При этом число 2q равно
рангу матрицы II с,у II.
С помощью теоремы Ли-Картана нетрудно осуществить редукцию системы к
системе с меньшим числом степеней свободы.
Пусть а = (ai, ... , ак) удовлетворяет условиям теоремы Ли-Картана. Тогда
множество
Ма={хеМ: ФДх)=д*, KKU (1.8.15)
является гладким подмногообразием в М, размерность которого равна 2л - к.
Поскольку Ф2<г+,, . . . , Ф^ находятся в инволюции со всеми функциями Ф,,
s = 1,. .. ,к, то их гамильтоновы векторные поля касаются многообразия
Ма, и, следовательно, определено действие коммутативной группы [В;, I = к
- 2q, на Ма, порожденное фазовыми потоками уравнений Гамильтона с
гамильтонианами Фз ,s >2q.
Факторпространство
MJ{Rl=Ma (1.8.16)
является гладким многообразием. Это приведенное фазовое пространство и
его размерность
dimMa = (2л-?)-/ = 2(л-?+?). (1.8.17)
Однако следует иметь в виду, что в вырожденных случаях ранг матрицы с,у
может, конечно, падать.
42
В. Алгебраическая полная интегрируемость. Рассмотренные до сих пор
вполне интегрируемые гамильтоновы системы обладают тем характерным
свойством, что для системы с 2л-мерным фазовым пространством траектория
находится на вещественном л-мерном торе Тп, зависящем от п интегралов
движения.
При этом во многих случаях интегралы движения являются рациональными
функциями от фазовых переменных, а тор Тп является частью комплексного
тора, который, в свою очередь, является алгебраическим (абелевым)
многообразием. Решение же уравнений движения дается абелевыми функциями,
связанными с этим абелевым многообразием и выражающимися через
многомерные тэта-функции. Движение на абелевом многообразии
линеаризуется, а фазовые переменные являются мероморфными функциями
времени.
Такие системы, следуя [112,41], мы будем называть алгебраически вполне
интегрируемыми. При этом, в отличие от вполне интегрируемых систем, для
которых нахождение критерия интегрйруемости в настоящее время
представляется безнадежной задачей, для некоторых типов алгебраически
вполне интегрируемых систем удается получить эффективный критерий
интегрируемости [112,113] *).
Такой критерий интегрируемости был впервые использован С. Ковалевской в
знаменитых статьях [224, 225], где она показала, что единственными
алгебраически вполне интегрируемыми случаями движения твердого тела
вокруг неподвижной точки в поле тяжести могут быть случаи:
1) Эйлера [165] , когда неподвижная точка совпадает с центром тяжести
тела;
2) Лагранжа [22], когда центр тяжести и неподвижная точка находятся на
оси симметрии тела,
3) и новый случай, открытый Ковалевской [224], когда неподвижная точка
находится на оси симметрии эллипсоида инерции; центр тяжести находится в
плоскости, проходящей через неподвижную точку перпендикулярно оси
симметрии, и главные моменты инерции тела относительно неподвижной точки
связаны соотношением
А=В=2С. (1.8.18)
Перейдем теперь, следуя [112], к точным формулировкам. Рассмотрим систему
дифференциальных уравнений вида
ън
z=f(z)=J -г-, zer, (1.8.19)
dz
где матрица У (г) рациональна по г.
Будем называть эту систему алгебраически вполне интегрируемой, если:
1) она является вполне интегрируемой и обладает рациональными
интегралами движения, которые для z G [Rfc определяют вещественные
*) В ряде случаев удается показать, что данная гамильтонова система в том
или ином смысле слова не является интегрируемой. Читателя,
интересующегося этим . вопросом, мы отсылаем к обзорной статье [2] ] .
43
алгебраические торы (по крайней мере, для почти всех значений таких
интегралов), и
2) вещественный тор является частью комплексного алгебраического тора
Л с алгебраическим законом сложения, который совместен с линеаризацией
данного фазового потока, а также других коммутирующих потоков.
Среди интегралов движения мы будем различать тривиальные Fj, для bF,
которых J =0 1 < / < /, и которые определяют симплектическое мно-
dz
гообразие размерности к -I =2п
Ma = {z: Fj = af, (1.8.20)
и п оставшихся интегралов, которые определяют коммутирующие вектор-
ные поля и вещественный тор, определяемый уравнениями
Fj = ah / = /+1,...,/ + л. (1.8.21)
При этом из условия 2) следует, что уравнения (1.8.21), распространенные
на Cfc, опреляют аффинную часть абелева многообразия Л .
Приведем формулировку критерия алгебраической полной интегрируемости.
• ,
Теорема1.8.8 [112]. Необходимое условие для того, чтобы система
(1.8.19) была алгебраически вполне интегрируемой в абелевых функциях
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed