Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
когда функции Fх, . . . , Fn находятся в инволюции, почти все М
''расслоено" на замкнутые интегральные многообразия Ма.
Теорема, обобщающая теорему Лиувилля, была доказана Арнольдом (см.
[1,3]).
Теорема 1.8.3. Пусть на симплектическом 2и-мерном многообразии даны л
гладких функцийF\,,Fn в инволюции,
{FhFk)= 0, /,*=1,...,л. (1.8.5)
Если:
1) они независимы на Ма (т.е. л дифференциалов линейно независимы в
каждой точке Ма );
2) гамильтоновы поля А)- -Хр. (1 </ <л) полны на Ма, то:
а) Ма - гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового потока с
функцией Гамильтона Н =Fj- (1 < / <л);
б) если многообразие Ма связно, то оно диффеоморфно произведению ^-
мерного тора и (л - к) -мерного евклидова пространства Ма - Тк X X(pn-fe
ЕслиЛ/а к тому же компактно, то к = л,Ма =Тп;
в) на Ма существуют координаты ,..., <рк, ,..., у"-к такие, что в этих
координатах уравнения Гамильтона наМа имеют вид
i'm = ys=csi (ы = ы(а), с = const). (1.8.6)
г) если Ма компактно, то оно имеет окрестность в М, диффеоморф-ную
прямому произведению л-мерного тора Тп на шар ?>" л-мерного евклидова
пространства.
Гамильтоновы системы, для которых выполнены условия теоремы
1.8.3, называются вполне интегрируемыми.
Замечание 1 [3]. Если алгебра Я интегралов движения некоммутативна, то
замкнутые инвариантные интегральные уровни диффеоморфны односвязной
группе алгебры Я , профакторизованной по некоторой ее дискретной
подгруппе. Однако реализация этого общего замечания упирается в
нерешенную задачу классификации групп и алгебр Ли.
Замечание 2. Переменные Fj,<pk /, к = 1, . . . , л не являются, вообще
говоря, каноническими координатами на М. Можно показать, однако, что
существуют некоторые функции Ij(F), / = 1,. .., л, - так называемые
переменные действия такие, что переменные //, уже будут каноническими,
т.е. симплектическая форма со в этих переменных имеет стандартный вид
П
со = 2 dljAdifij. (1.8.7)
/ = 1
Фиксируя величины Fj (или, это эквивалентно, /;.), мы фиксируем (в
компактном случае) инвариантный тор, на котором развивается динамика
системы. При этом величины ^ характеризуют положение точки на этом торе и
меняются с течением времени линейно.
40
В ряде случаев число глобальных интегралов движения гамильтоновой
1
системы может быть больше чем п - - dim М (при этом не все они нахо-
2
дятся в инволюции!). В таком случае инвариантными многообразиямиМа будут
торы размерности меньшей л.
Итак, рассмотрим систему с гамильтонианом Н на симплектическом
многообразии М2п, обладающую (л + к) независимыми интегралами движения
Fi,F2, ¦ ¦ ¦ , Fn+k, и пусть многообразие уровней интегралов
Ма = (хеМ: Fj(x) = а,, 1 </ < л + *) (1.8.8)
компактно и связно.
Теорема 1.8.4 [91]. Пусть первые (л - к) интегралов находятся в инволюции
со всеми интегралами, тогда:
1) многообразие Ма диффеоморфно (л - к) -мерному тору;
2) в окрестности Ма существуют канонические координаты .типа действие-
угол (I, р-,у, q) такие, что
Is=Is(Fi,- • ¦ ,Fn-k), \<s<n-k,
а координаты Pi,qm (l,m = 1,. . . ,к) зависят от всех Fj.
Некоммутативные наборы интегралов. Пусть М = М2п - симплекти-ческое
многообразие и Fit . . . , Fк - гладкие независимые функции наМ,
образующие алгебру Ли '3 относительно скобки Пуассона,
{Fj.Fj-} =C(tm)Fm. (1.8.9)
Рангом алгебры 3 (гкЗ) назовем минимальное число нулевых собственных
значений матрицы
Сц(/) = Cgfm, (1.8.10)
когда fj пробегают все пространство (Rfc.
В такой ситуации справедливо утверждение, родственное теореме
1.8.4, указанное в работе [90] (см. также [34]). Отметим, что его
можно вывести из более общей теоремы Ли-Картана (см. теорему 1.8.7,
ниже). Теорема 1.8.5. Предположим, что на множестве
Ма= {хеМ: F,(x)'= а,-, !</<*}
дифференциалы dFj линейно независимы и алгебра 3 удовлетворяет условию
dim$+ гк 3 = dimM = 2л = к + г. (1.8.11)
Если Ма компактно и связно, то оно диффеоморфно г-мерному тору Тг, где г
~ гкЗ. Далее, если функции Ft, . . . , Fk являются первыми интегралами
гамильтоновой системы с гамильтонианом Н, то на Ма можно выбрать угловые
координаты i, . . . ,<рг так, чтобы уравнения Гамильтона на Тг приняли
следующий вид:
ф3 = cos(a) = const. (1.8.12)
41
Замечание. Во всех известных случаях, описываемых теоремой
1.8.5, можно указать полный набор интегралов в инволюции. Это не
случайно. В действительности справедлива
Теорема 1.8.6 [34]. Если М компактно, то в предположениях
теоремы 1.8.5 можно найти л = (dim М)/2 независимых интегралов движения
Ф,,. . . , Ф", находящихся в инволюции; эти функции являются полиномами
от Fi,... ,Fk.
В заключение этого раздела приведем старые результаты С. Ли и Э. Кар-
тана.
Пусть функции Fi(pi, . . . , р"; qi, . . . , q"), . . . , Fk(pi, . . .
,р"; q\> • • • > Яп) обладают тем свойством, что все скобки Пуассона для
них выражаются через эти же функции,
{F;,Ft} =cn{FFk). (1.8.13)
Свойства таких систем функций изучались С. Ли [54] и Э. Картаном [16]. С.
Ли называл такие наборы группами функций. Такой набор определяет
