Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
2. ПустьМ - то же, что и предыдущем примере [25]; G = {^s},
gs- (р. я)^(р- Щ я)-
1
Это действие группы гамильтоново с гамильтонианом Н - - \ я \ ¦
Подмногообразие Мс выделяется условием Н = с и при с > 0 имеет вид S п~1
X X [R", где Sn~единичная сфера в [R". Группа Gc совпадает с G. Для
описания Мс = MJGC выберем в качестве начальной (s = 0) точку на прямой
(р - sp, я) с минимальным расстоянием от начала координат, т.е. положим
(р, я) = 0. При этом
Мс= MJGc~{(p, q)G В2": ; q |2 = 2с, (р, я) = 0 }, т.е. представляет собой
кокасательное расслоение (п-1)-мерной
37
сферы. Нетрудно показать также, что 2-форма dp Л dq проектируется в
стандартную 2-форму на T*Sn~ 1.
В качестве примера рассмотрим гамильтониан
Я = \q?-{p,qf),
инвариантный относительно рассмотренного выше действия группы G.
Уравнения движения для этой системы
р = - \р\2 q +(р, q)p, q- \ q\2 р - (р, q) q при ограничении на T*S"~1
переходят в (при с = 1/2)
р= - IР \2q, q~P или q = - | q \2 q,
т.е. описывают геодезический поток на сфере.
3. Пусть М = T*G - кокасательное расслоение группы Ли G и пусть G
действует на М правыми сдвигами. Соответствующее отображение момента рг :
М 'З * имеет вид
dr(g>x) = x, ??G, хбЭ*,
где T*G отождествляется с G Х$* при помощи левых сдвигов. Следовательно,
Мс ~G и Мс ~ Ос - орбите точки с в $*. Действительно,Мс симплек-тически
диффеоморфно 0С, что проще всего увидеть с помощью отображения момента
для левых сдвигов
di(g,x)= -Ad *(#)•*•
1.8. Интегрируемые гамильтоновы системы
Среди гамильтоновых систем принято выделять класс интегрируемых систем.
''Если, однако, мы попытаемся сформулировать точное понятие
интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения,
каждому из которых присущ известный теоретический интерес" [6]. В этом
разделе мы приведем основные определения и теоремы об интегрируемости
гамильтоновых систем, не забывая при этом указания Пуанкаре, что
''система дифференциальных уравнений может быть только более или менее
интегрируемой" [6].
j А. Системы, интегрируемые в квадратурах. Система дифференциальных
уравнений называется интегрируемой в квадратурах, если решения этих
уравнений могут быть получены с помощью конечного числа алгебраических
операций (включая обращение функций) и квадратур - вычислений интегралов
известных функций. Оказывается, что при наличии достаточно большого числа
интегралов движения гамильтонову систему можно проинтегрировать в
квадратурах.
Основная теорема здесь была доказана Буром [127] и Лиувиллем [241]. Мы
приведем ее в более современной формулировке.
Теорема 1.8.1 [2]. Пусть IR2" = { р, q } - фазовое пространство
гамильтоновой системы со стандартной скобкой Пуассона и гамильтониа-
38
ном Н(р, q, t). Предположим, что эта система имеет п интегралов движения
Ft,..., Fn в инволюции, т.е.
Щ
- +{Fj,H}=0, { Fj, Fk} = 0. (1.8.1)
Эг
Если на множестве
Ма= {{p,q,t)<=ti\2n X1R1: Fj(<p.q,i) = ah /= 1 и! (1.8.2)
функции F\, .. . ,Fn независимы,(tm) решения уравнений Гамильтона ЭЯ ЭЯ
Pi = - 7~Г' ¦ (L83)
Э q 1 bpj
лежащие наМа , можно найти в квадратурах.
Обобщением этой теоремы является
Теорема 1.8.2 [81]. Пусть 1R2" - фазовое пространство гамильтоновой
системы со стандартной симплектической структурой и гамильтонианом Н(р,
q, г). Предположим, что эта система имеет п интегралов движения Fi,.. .,
Fn таких, что
{FhFf) =C%Fk, 4 = const. (1.8.4)
Если:
1) на множестве
Ма= {(p,q\t)} 6IR2" X IR1: F}(p, q\t) = af}
функции Fi,. . . ,Fn независимы;
2) алгебра Ли со структурными константами Су разрешима;
3) Суок = 0 для всех /, / = 1, . . . , п, то решения уравнений Гамильтона
(1.8.3) ,лежащие наМа , можно найти в квадратурах.
Пример [81].
Рассмотрим систему трех точек на прямой с потенциальной энергией,
являющейся произвольной однородной функцией координат, степени (- 2).
Тогда уравнения движения для нулевых значений полной энергии и импульса
можно проинтегрировать в квадратурах. Действительно, функции Fi =H,F2 =
2Pj-qj , F3 = ~Lpj независимы и алгебра
{F"F3} =0, {F2,F3} =F3, {F2,F,} =2f,
является разрешимой, так что можно воспользоваться теоремой 1.8.2.
Б. Вполне интегрируемые системы [1,3].
Пусть М2п - симплектическое многообразие и . . . ,Fk - гладкие
независимые функции на М, генерирующие конечномерную алгебру Ли 3 :
{ Fh Fj} = Су Fm, Су = const, i,],m = \,... ,к.
Тогда в каждой точкех 6 МвекторыX) = Хр. порождают ^-мерное линейное
подпространство П (х) в ТХМ. Распределение плоскостей П (х) инво-лютивно
(если Xt и Xj G П, то [X,, Xj] G П). Поэтому, по теореме Фробе-ниуса,
через каждую точку х G М проходит максимальное интегральное многообразие
Nx распределения П. Эти многообразия могут быть погружены в М весьма
сложным образом,в частности, они не обязаны быть замкну-
39
тыми. Если к - п, то среди интегральных многообразий распределения П есть
замкнутые многообразия Ма = { х 6 М: Fj (х) =а/, 2С//Я/ = 0}. Если х 6 Ма
, то Nx совпадает с одной из связных компонент Ма . В частном случае,
