Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Переломов А.М. -> "Интегрируемые системы классической механики и алгебры" -> 15

Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.

Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры — М.: Наука, 1990. — 240 c.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemiklassmehaniki1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 88 >> Следующая

движения /. При этом без ограничения общности мы можем считать, что
вектор / направлен по оси х3: / = Х/3,/3 = (0, 0, 1), Х> 0.
Подмногообразие Mi определяется уравнениями
q2P3-q3P2=0, (1-7-4)
q3pi-qip3=0, (1.7.5)
qiP2 - <72Pi = X. (1.7.6)
Из уравнений (1.7.4) и (1.7.5) следует, что q3 =0,р3 = 0, и,
следовательно, задача сводится к задаче с двумя степенями свободы (qi,Pi,
q3, Р2) с дополнительным условием (1.7.6). Но эта задача обладает
дополнительной инвариантностью относительно вращений в плоскости (q 1,
q2). Удобно поэтому перейти с помощью канонического преобразования к
полярным координатам г, <р, рг, р^:
Р* -
q\~ г cos <р, <72 = г sm р>, P\-pr cos ip - - sm ip,
г
Р*
Р2 - Pr sin Я> + cos <р, г
(1.7.7)
после чего условие (1.7.6) принимает вид
Р* = X. (17.8)
Таким образом, р есть интеграл движения, а гамильтониан Я не зависит
OTtp.
Редуцированный гамильтониан имеет вид
H=\(pl+^r) + U{r\ (1.7.9)
2* 35
а зависимость ^ от времени можно наити из уравнения ЭЯ X
(1.7.10)
°Р? г
Можно осуществить эту редукцию и несколько иным способом. Разложим вектор
импульса р на вектор, перпендикулярный рг к орбите группы вращений в
координатном пространстве, и вектор, касательный р, к этой орбите:
Р = Рг+Рг (1.7.11)
Из уравнения (1.7.6) тогда следуют XX
1Р/1=- =- (1.7.12)
I q I г
и выражение (1.7.9) для редуцированного гамильтониана.
Как отмечается в работе [25], редукция такого типа была известна еще
Якоби, который редуцировал задачу трех тел в трехмерном пространстве,
используя инвариантность системы относительно группы Галилея, содержащей
группу вращений в качестве подгруппы. С помощью интегралов движения
центра масс и момента количества движения он свел эту систему с 9
степенями свободы к системе с 4 степенями свободы,т.е. редуцировал
фазОвое пространствоот 18-мерного до 8-мерно го. Используя, кроме того,
закон сохранения энергии, получаем динамическую систему на 7-мерном
многообразии.
Опишем теперь процедуру редукции в общем виде.
Пусть дано гамильтоново действие группы G на симплектическом многообразии
М и отображение момента д; М -"• S'. Рассмотрим множество уровней
момента, т.е. прообраз какой-либо точки е 6 при отображении д. Это
множество обозначим через Мс:
Мс - д-1 с. (1.7.13)
Потребуем теперь, чтобы с было регулярным значением момента, т.е. чтобы
дифференциал отображения д в каждой точке множества М<. отображал
касательное пространство к М на все касательное пространство к S', либо
чтобы Мс было пусто (по теореме Сарда [12] это условие выполняется для
почти всех значений с). Тогда Мс является многообразием.
Группа G, действующая на М, вообще говоря, переставляет множества Мс
относительно друг друга. Однако стационарная подгруппа точки с
относительно действия коприсоединенного представления (т.е. подгруппа,
состоящая из тех элементов g группы G, для которых Ad (g) с = с)
оставляет Мс на месте. Обозначим эту стационарную подгруппу через Gc (Gc
= {g: Ad*(?) • с}). Предположим также, что Gc является ком-
пактной и действует наМс эффективно и без неподвижных точек*). Прост-
*) Эти условия можно несколько ослабить, например вместо компактности Gc
потребовать, чтобы действие Gс на Мс было собственным. Однако некоторые
условия на Gс всегда необходимо наложить.
36
ранство Мс относительно действия группы Gc разбивается на орбиты.
Пространство орбит Мс = Mc/Gc при этом также будет многообразием. Это
пространство Мс и называют приведенным фазовым пространством.
Можно показать [1, 40], что на пространстве Мс имеется естественная
симплектическая структура, т.е. оно является симплектическим
многообразием, и, более того, построенное нами отображение
п:М^Мс (1.7.14)
является отображением симплектических многообразий.
Пусть теперь на М задана функция Гамильтона Н, инвариантная относительно
G, и Мс - приведенное фазовое пространство (предполагается, что условия,
при которых его можно определить, выполнены). Функция Гамильтона Н
определяет гамильтоново векторное поле на М, которое после проектирования
тт переходит в поле на Мс, называемое приведенным полем. Справедлива
следующая
Теорема1.7.1 [1, 40]. Приведенное поле на приведенном фазовом
пространстве гамильтоново. Значение функции Гамильтона приведенного поля
в какой-либо точке приведенного фазового пространства равно значению
исходной функции Гамильтона в соответствующей точке исходного фазового
пространства.
Отметим, что из рассмотренной выше конструкции следует
dimAfc = dimAf - dim G - dim Gc; (1.7.15)
напомним, что с - регулярное значение отображения момента. ^ ^
В примере, приведенном в начале настоящего раздела, Мс = Mi
подмногообразие, определенное уравнениями (1.7.4-1.7.6), при этом если /
Ф 0, то G; = SO (2) - группа вращений вокруг оси /; dim Мс = 6 - 3 - 1 =
= 2.
Примеры
1. Пусть М = { (р, q)} - стандартное фазовое пространство, G - {gs} , gs:
pj Pj, Я) qj + s. Тогда Мс выделяется из М условием = с,
G с - G и
dim Мс ~ 2п - 1 - 1 = 2 (п - 1).
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed