Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
импульса идеальной жидкости в очень полезном и общем виде:
= (Роо + Ро) ж ~ ё^Ро- (85.7)
Здесь роо и ро - собственная макроскопическая плотность и дав-
р, Толмен
дхп dxv , дх** дхv , дх^ dxv , дх11 дхv
226
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
ление жидкости, а величины dx^Jds - компоненты макроскопической скорости
жидкости в используемой системе координат.
Так как поле излучения можно рассматривать как идеальную жидкость,
характеризуемую плотностью и давлением с простым соотношением между ними
(§ 65):
то для них также можно использовать выражение (85.7), с учетом (85.8), в
качестве тензора энергии - импульса этого излучения; dx^jds при этом
следует рассматривать как скорость наблюдателя относительно используемой
системы координат, который не обнаруживает в среднем никакого потока
энергии (смысл этого условия будет разъяснен ниже, в § 109).
Выражение для тензора энергии - импульса идеальной жидкости (85.7)
окажется чрезвычайно полезным для наших дальнейших выводов. Для более
сложных механических сред, в которых могут возникать поперечные
натяжения, и для жидкостей, в которых существуют тепловые потоки,
полученное выражение неприменимо. Кроме того, при наличии
электромагнитных полей, более сложных, нежели изотропное поле излучения,
мы должны будем использовать более общее выражение для тензора энергии-
импульса, которое будет получено в следующей главе. Тем не менее с
помощью моделей, имеющих свойства идеальной жидкости, может быть
исследовано множество важных проблем.
Чтобы понять физический смысл фундаментальных уравнений механики,
обсужденных в § 84, применим их к случаю идеальной жидкости,
воспользовавшись только что полученным выражением для тензора энергии -
импульса. Из соображений простоты, для того чтобы глубже проникнуть в
физическую сущность результатов, будем выражать их в собственных
координатах рассматриваемой точки.
Очевидно, что в собственных координатах фундаментальные уравнения
механики (84.4) примут вид
из-за равенства нулю символов Кристоффеля. Далее, в собственных
координатах компоненты метрического тензора задаются их галилеевыми
значениями, и их первые производные исчезают в выбранной точке, так что
мы можем записать:
Роо-Зро,
(85.8)
§ 86. Механика идеальной жидкости
(86.2)
§ 86. МЕХАНИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
227
Кроме того пространственные и временная компоненты скорости жидкости в
интересующей нас точке имеют значения
dx dy dz л dt i /ос о\
Ts = Ts=Ts = 0' 51= L <86'3)
И наконец, так как из общей формулы для интервала следует соотношение
1 _ dxdx n dxdy . dt dt
ds ds (r)la ds ds "' ' ds ds'
то, продифференцировав обе его части, находим, что в выбранной точке
должно выполняться условие
д
дха
¦(|) = 0, (86.4)
поскольку все члены, кроме последнего, после дифференцирования и
последующей подстановки (86.2) и (86.3) обращаются в нуль. Таким образом,
в собственных координатах выбранной точки производные временной
компоненты скорости исчезают, хотя производные пространственных
компонент, вообще говоря, могут отличаться от нуля даже в этой точке.
Предыдущие уравнения и выражение (85.7) для тензора энергии - импульса
идеальной жидкости
= (Роо + Ро) РЧРо (86-5>
- это все, что необходимо нам для дальнейшего исследования.
Положив в (86.1) ц=1 и использовав (86.5), обнаружим, что остаются всего
два члена:
!г + (Роо +/,o)^('?j = 0, которые можно переписать с помощью (86.3) и
(86.4) в виде
Ж + (Роо + Ро)55 = 0, (86.6)
где dujdt- ускорение жидкости, параллельное оси х. Если мы вспомним, как
выглядит по предположению вклад в импульс, связанный с работой
механических сил, таких, как давление (§ 35), и учтем также то, что в
используемых координатах скорость жидкости в рассматриваемой точке равна
нулю, то сразу становится очевидным, что полученный выше результат
является простым следствием обычного соотношения между силой и скоростью
изменения импульса. Подобные же уравнения можно, конечно, написать и для
р = 2 и 3.
1Я*
228
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
Для случая ц=4 при подстановке (86.5) в (86.1) остаются только следующие
члены:
где бо0 - собственный бесконечно малый объем жидкости, получаем уравнение
(РооЮ +PoJt (Ч) = °> (86-8)
которое означает, что в собственных координатах скорость изменения
энергии элементарного объема жидкости может быть определена, как мы и
ожидали, по скорости, с которой совершается работа против внешнего
давления.
Таким образом, в собственных координатах уравнения релятивистской
механики для идеальной жидкости приведут к выражениям, которым можно дать
простую физическую интерпретацию в терминах измеряемых величин. Более
того, если локальный наблюдатель находится в жидкости в состоянии покоя и
изучает достаточно малый ее элемент такой, что гравитационной кривизной
можно пренебречь, то найденные им законы механики совпадут с теми,
которые мы получаем из законов сохранения энергии - импульса. Используя,
далее, естественные координаты, в которых жидкость уже не покоится в
