Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
§ 85. СВОЙСТВА ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ - ИМПУЛЬСА
223
Развернем это выражение, применяя правила ковариантного
дифференцирования; тогда фундаментальные уравнения механики (84.3) можно
переписать следующим образом:
^ + Г&Г" + r*v7tia = 0, (84.4)
дху
а опуская индекс р,- в виде дт'1
-Г* - KvTl + I avT" = 0. (84.5)
Далее, вводя вместо тензора энергии - импульса соответствующую тензорную
плотность
(84.6)
последнее уравнение можно переписать с помощью известных преобразований
(уравнение (47), Приложение Ш) в более простой форме:
И 1 p??ap__л /пл у\
или
§ 85. Свойства тензора энергии - импульса. Общее выражение в случае
идеальной жидкости
Чтобы извлечь физические заключения из фундаментальных уравнений
механики, мы должны их применить к какой-либо физической среде, для
которой известна явная зависимость тензора энергии - импульса от
наблюдаемых свойств среды. Для этого нам необходимо знать явное выражение
тензора через величины, которые измеряются на опыте с помощью обычных
методов. Из принципа эквивалентности следует, что такие выражения можно
получить путем ковариантного обобщения тензора энергии - импульса из
специальной теории относительности.
В специальной теории относительности в случае чисто механической среды,
когда состояния в каждой точке могут определяться механическими
натяжениями Р°ц и плотностью р0п, измеряемыми локальным наблюдателем, мы
нашли следующее
224
Г Л, VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
гтл 'Xf)
1 О
энергии - ИМ пульса *)
Р°хх Р% 0
р1 Р°уу Р'уг 0
р\х Р% P°zz 0
0 0 0 Роо
(85.1)
При этом была использована специальная система галилеевых координат,
относительно которой в рассматриваемый момент времени вещество в данной
точке покоилось. Из принципа эквивалентности, однако, следует, что и в
общей теории относительности тензор энергии - импульса механической среды
должен иметь тот же самый вид, если он записан в собственных координатах
(xj, x\, xl, хо) рассматриваемой точки. Таким образом, матрица (85.1)
задает тензор энергии - импульса механической среды в общей теории
относительности, определяя его компоненты в специальной системе - системе
собственных координат. Чтобы получить выражение этого тензора в любой
другой системе координат (х\ х2, х3, х4), надо лишь применить правило
преобразования тензоров:
.TiLiv _ дх*1 dxv ,
~ дх" дх"
.Tf, (85.2)
позволяющее находить нужные компоненты с помощью производных, связывающих
новую систему координат с первоначальной собственной системой; в итоге
эти компоненты оказываются выраженными через собственные плотность р0о и
натяжения p(r)jt измеряемые локальным наблюдателем обычными физическими
методами. И наоборот, если известны компоненты тензора в данной системе
координат, можно вычислить собственные натяжения и плотность с помощью
обратных преобразований.
Хотя соотношение (85.2) является общим выражением для тензора энергии -
импульса механической среды, определяющим его в любой заданной системе
координат, его конкретное содержание зависит от производных, связывающих
эти координаты с некоторой системой собственных координат. В случае
идеальной жидкости можно, однако, с помощью некоторых подстановок
избавиться от явной зависимости от собственных координат и дать более
прозрачное выражение для тензора энергии - импульса, зависящее от
действительно используемых координат.
*) См. § 37. Напомним, что мы положили cl= 1 в согласии с выбором единиц,
сделка иным в § 81.
§ 85. СВОЙСТВА ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ - ИМПУЛЬСА 225
Идеальную жидкость мы определим как механическую среду, которая не
сжимается под действием поперечных сил. Тогда единственной отличной от
нуля компонентой тензора натяжений, определяемой локальным наблюдателем,
будет та, что соответствует собственному гидростатическому давлению ро.
Таким образом, тензор энергии - импульса будет задаваться в собственных
координатах следующим простым набором компонент:
То1 = Tf = Tf = р0, То44 = р00, - 0 (а =? р). (85.3)
Подставляя эти величины в общее выражение для тензора энергии- импульса
(85.2), найдем
дх'0 Ро + дх2 дх2 Ро + дх\ дх1 Ро + дх0 дх40 Ро°' (85'4)
где (хо, Хо, х\, хо) - собственные координаты рассматриваемой точки, а
(х1, х2, хъ, х4) - интересующие нас координаты.
Это выражение можно упростить. Во-первых, свяжем компоненты
контравариантного метрического тензора, соответствующие этим двум
системам координат:
дх^ дхv "й
s" = Sf
Подставив сюда затем обычные простые значения компонент метрического
тензора в собственных координатах, получим
nv_ _д^дх^ _дх^_дх^ , дх^дх^
^ dxg dxg Sxq дх^ дх\ дх$ дх^ дхд
Во-вторых, мы можем написать для макроскопической скорости жидкости в
выбранных координатах уравнение
dxn d*11 dxg qx\x dXg gxv- djcjj qxV dx4
~ds~~ ~dxl~ds ~d$~ds ~ds'
которое, если учесть, что скорость не имеет пространственных компонент и
имеет равную единице временную компоненту, сводится к равенству
dx11 дх*4 /о-с к
ds ~ dxQ (8й'6)
Подставляя (85.5) и (85.6) в (85.4), получаем тензор энергии -
