Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
запаздывание сигнала от планеты при прохождении его вблизи диска Солнца.
(Прим. ред.)
А*) Мы следуем здесь изложению Эддингтона [56] (§ 58, § 59).
§ 83 ТРИ "РЕШАЮЩИХ ОПЫТА" ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
213
Именно, те из компонент, которые не обращаются в нуль, определяются (см.
(95.2)) следующими выражениями:
Ги = 1 = т dX dr ' Г21 - 1 Г ' I 31 - 1 r ' г4 1 41 - 1 2
dv dr ' t
Г?2 = 1 г У pi 1 22 - - re~x, Г332 = ctg e, P1 1
44 - ev' 2 dv dr '
Г?3 = 1 г У рЗ 1 23 - ctg0, Г33 = - r sin2 ве->',
(83.
rf4 - 1 = 2 dv ~dr ' p2 1 33 - - sin 0 COS 0.
При этом мы использовали шварцшильдовские значения X и v, задаваемые
(82.7) и (82.8).
Подставляя выражения (83.2) в (83.1), находим четыре уравнения,
соответствующие возможным значениям о = 1, 2, 3, 4, которым должно
подчиняться движение планет:
+-?&(?)'= "¦ <833> S + f?f-si"e"se(S-b°' <83.t)
_0. (83.5,
= <83'6>
Эти уравнения легко упростить, выбрав координаты так, чтобы планеты
первоначально двигались в плоскости 0= (V2) л. Тогда dQ/ds и cos0
оказываются равными нулю в начальный момент времени, а, значит, согласно
(83.4) они равны нулю всегда. Следовательно, уравнения движения принимают
более простой вид:
, 1 dlldrY ,/*Р V e'-^dvldtY п
+ -W +-згЫ <83'7"
3 + ^%тт = о- <83-8"
Ш- + ЖЖ-0- (83-9>
Эти уравнения несложно решить, так как первоначальное уравнение для
линейного элемента (82.1) дает один интеграл,
214
ГЛ. V]. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
а уравнения (83.8) и (83.9) легко могут быть проинтегрированы. Таким
образом, мы получаем
в качестве первых интегралов рассматриваемых уравнений, причем h и k
здесь - постоянные интегрирования. Комбинируя первое и третье из этих
уравнений и подставляя величины (82.7) и (82.8) для Я и v, получаем
релятивистские уравнения движения планет:
Здесь г и ф - введенные выше пространственные координаты, т и k -
постоянные, a ds - элемент собственного времени, измеренного локальными
часами, движущимися вместе с планетой.
Итак, мы получили релятивистские уравнения для орбит планет в виде,
удобном для сравнения с ньютоновскими уравнениями, вытекающими из обычных
законов сохранения энергии н момента количества движения. Они имеют вид
где т - масса Солнца, выраженная в единицах § 81; г и ф следует
рассматривать как обычные полярные координаты, а dt - как обычный
временной интервал, который использовался в дорелятивистском подходе, не
учитывавшем влияние движения и кривизны на пространственные и временные
измерения.
В самом деле, эффекты движения и кривизны должны быть ничтожными для
малых скоростей планет и для почти "плоского" пространства - времени,
окружающего *) Солнце, а дополни-
*) Согласно шварцшильдовскому линейному элементу пространственная
геометрия вокруг Солнца должна определяться формулой интервала
(83.10)
(83.11)
(83.12)
Г2 ~ = const, at
(83.13)
вместо обычной формулы для плоского пространства
du* = dr2 + r*d6* + r2sin20 d<ps-
§ 83. ТРИ "РЕШАЮЩИХ ОПЫТА" ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
215
тельный член r2d(p2/ds2, стоящий в (83.10), должен быть очень мал по
сравнению с единицей (как квадрат поперечной скорости планеты, поделенной
на квадрат скорости света). Это обстоятельство отражает большую точность
выводов обычной ньютоновской теории гравитации в небесной механике.
Имеются тем не менее три следствия, получаемые с помощью
шварцшильдовского линейного элемента, которые позволяют обнаружить
различие между релятивистской и ньютоновской теориями гравитации. Этими
следствиями мы теперь и займемся.
а) Движение перигелия. Первый из трех решающих для теории
относительности опытов связан с тем, что релятивистское уравнение (83.10)
отличается от аналогичного уравнения Ныотона (83.12) дополнительным
членом. Это приводит к орбитам планет с медленно вращающимся перигелием,
в отличие от совершенно замкнутых эллиптических орбит старой теории.
Подставив (83.11) в (83.10), продифференцировав по ф и положив для
простоты
и = 1 /л, (83.14)
получим в качестве релятивистского уравнения для орбитального движения
планет
0 + ы =-р-Н-Эта*. (83.15)
Это уравнение следует сравнить с аналогичным ньютоновским уравнением
d"u j /оо 1
ЗфН-"=А5-- (83.16)
Однако даже на поверхности Солнца член 2т/r приблизительно равен 410-6, а
на таких расстояниях, как расстояние до Земли, он еще меньше и равен
примерно 2-10~*. Следовательно, пространство вокруг Солнца достаточно
плоское, так что шварцшильдовские значения координат г, 0 и <р, задающие
положение планет, практически не будут отличаться от соответствующих
значений, найденных в пренебрежении пространственной кривизной.
Далее, соотношение между бесконечно малым собственным временем ds,
измеряемым на планете, и координатным временем dt должно определяться при
нашем выборе линейного элемента уравнением
ds* / 1 dr" , d0" " . dtp" , 2m\
dt* 2mjr dt* +r dt* +r sm 0dli + r )'
где второй член очень мал по сравнению с единицей, так, например, для
Земли ои приблизительно равен 3-10-8. Следовательно, при описании
