Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
элемент имеет простой вид:
ds2 --ekdr2-r2dQ2-г2 sin2 0 dq>2-\-evdt2, (82.1)
где Я и v зависят только от г. Далее, компоненты тензора энергии-
импульса Т'1, соответствующие этой формуле интервала (см. ниже уравнение
(95.3)), принимают значения
8л71 = -е~ь(- + 4-
210
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
где штрихи означают дифференцирование по г, а космологическая постоянная
Л положена равной нулю.
В пустом пространстве, окружающем рассматриваемую нами частицу, все
компоненты тензора энергии - импульса, очевидно, равны нулю. Комбинируя
первое и третье из полученных уравнений, мы приходим к результату
V=-v', (82.3)
а комбинируя первое со вторым, получаем
v" -f v'2 + ~ - 0. (82.4)
Последнее уравнение, как легко убедиться, имеет решение
ег = а + -^, (82.5)
где а и Ь - постоянные интегрирования.
Далее, следует ожидать, что на больших расстояниях от частицы, т. е. при
г-*-оо, линейный элемент приобретает вид, соответствующий специальной
теории относительности:
ds2=-dr2-r2dQ2-г2 sin2 0 dq>2-\-dt2, (82.6)
где ёк=ё*=\ в единицах, принятых в предыдущем параграфе. Тогда уравнение
(82.5) может быть переписано так:
ev=1_?2L. (82.7)
Здесь постоянная а положена равной единице, а постоянная b заменена на -
2пг, где т, как это будет видно из физического обсуждения, имеет смысл
массы частицы*). Далее, согласно
(82.3) мы имеем
е-ь = 1 - . (82.8)
Если подставить теперь два последних выражения в первое и третье из
соотношений (82.2), тоТ'= Т4, как это и требуется обратятся в нуль.
*) Величина 2т или в обычных единицах
2km г& = ~
называется гравитационным радиусом. Он играет важную роль масштаба. На
расстояниях гравитационные эффекты малы (формулы часто разла
гают по степеням г]г"). Напротив, при г-ге релятивистские эффекты
становятся определяющими. Для Земли г"= 0,886 см, для Солнца г 2,95 км
(Прим. ред.), g
§ 82. ИНТЕРВАЛ ШВАРЦШИЛЬДА
Подставляя окончательно (82.7) и (82.8) в общее выражение
(82.1), мы можем написать линейный элемент в окрестности притягивающей
точечной частицы - решение Шварцшильда - в виде
ds2 = - J^j- - rW - г2 sin2 6 dq>2 + (1 dt2. (82.9)
Так как этот результат был получен с помощью выражений для компонент
тензора (82.2), в которых было положено Л=0, то это решение
соответствует, согласно (78.12) и (78.13), уравнениям Эйнштейна для
случая пустого пространства:
Легко, однако, использовать полное выражение для тензора энергии-
импульса (см. (95.3)), не пренебрегая космологическим членом, и получить
Это соответствует более общим уравнениям в пустом про-
Сравнивая два выражения для линейного элемента (82.9) и
(82.10), мы видим, что, как уже отмечалось в § 78, действие A-члена на
поле, окружающее притягивающую точечную частицу, усиливается с
увеличением размеров рассматриваемой области. Следовательно, поскольку
движение планет в действительности оцисывается с большой точностью
формулой (82.9), мы можем заключить, что Л-член во всяком случае
настолько мал, что не дает заметных эффектов в области порядка размеров
Солнечной системы.
Частный вид линейного элемента Шварцшильда (82.9) зависит, конечно, от
выбора системы координат; зачастую удобнее использовать его выражения в
других системах координат. Подставляя г вместо г с помощью соотношения
R^=0.
ds2
2 т Л
rW-r2 sin20d<p2 + (l - - --^-r^dt2.
(82.10)
странстве:
Agfir/.
(82.11)
получаем линейный элемент Шварцшильда в виде
14*
(82.12)
212
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
а используя "прямоугольные координаты"
х = г sin 0 cos ф, у - г sin G sin ср, z = r cos0, (82.13) можно
переписать его следующим образом:
ds2 = - (1 + •?-)* (dx2 + dy2 -г dz2) ^2, (82.14)
где теперь г = )/л:2+г/а+г2.
Эти новые координаты могут быть названы изотропными, поскольку формула
для интервала симметрична по х, у и г. На больших расстояниях от
центральной частицы, где члены порядка (т/г)2 н выше пренебрежимы по
сравнению с единицей, последнее выражение для линейного элемента
Шварцшильда имеет приближенный вид:
= 1 -I-~j(dx2 ~( dy2 -f dz2) + (l -^-jd/2, (82.15)
где r - Yx2+y2+z2.
§ 83. Три "решающих опыта" теории относительности *)
Зададимся теперь вопросом: насколько соответствует шварц-шильдовское
выражение для линейного элемента, найденное для притягивающей точечной
частицы, астрономическим наблюдениям? Методы исследования этого
соответствия хорошо известны, так что для наших целей будет достаточно
лишь их беглого описания **).
Рассмотрим для начала движение планет в гравитационном поле Солнца. Если
планеты принять за свободные частицы, их пространственно-временные
траектории будут задаваться, согласно общей теории относительности (§ 74,
д), уравнением геодезических линий (74.13):
d^ х - "ро dx^ dx " /оо 1 \
Ч^- + Т^ЧГ ЧГ = °- <83Л)
Так как поле, окружающее Солнце, можно рассматривать как создаваемое
притягивающей точечной частицей, значения символов Кристоффеля, стоящих в
(83.1), будут теми же, что и для шварцшильдовского элемента (82.9).
*) К трем классическим опытам сейчас добавился еще и ^четвертый -
