Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
Геодезические линии метрики (8) ила (12) также можно ин-терпретировать физически при таком подходе. Из независимости lYnv от г5 непосредственно следует, что при надлежащем выборе параметра s на геодезических линиях постоянны два выражения
^+ ??-««»•-с HS)
I*-'™'--1- («•>
Постоянную в уравнении (18а) можно нормировать к —1. Уравнения геодезических линий имеют вид
d I„ I ^rsdxTdxs _ ... dxh ,,п.
ds\ikds} 2 дх' ds ds ds '
Ho это соотношение представляет собой уравнение для траектории
варяжеавой частицы во внешних граьитационном и электромагнитном полях. Поэтому постоянная итерирования С пропорциональна отношению elm. заряда и массы частицы.
Мы упомянем здесь кратко другой путь геометризации гравитационного в электромагнитного полей, а именно — проективную формулировку. Многие авторы внесли здесь свод вклад, и среди 20 в, Паули
298
ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
них Веблен и Гоффман, Шутен и ван Данциг и я*). Бергман показал, однако (в противоположность тому, что думал раньше сам), что эта теория не является более общей, чем теория Калуцы, и что нетрудно перейти от одной из этих формулировок к другой. Введем однородные координаты Xv при помощи соотношения
(с произвольными функциями /v); обратные соотношения имеют вид
где Я(1> — однородная функция первой степени. Нетрудно убедиться в том, что «градиентные преобразования» (11) в комбинации с общими преобразованиями координат хк в точности соответствуют группе всех однородных преобразований первой степени координат Xу. Именно последние преобразования рассматриваются в проективной формулировке теории. Вийду взаимно однозначпого соответствия между двумя формами теории **) мы не будем дальше рассматривать проективную форму.
Геометрическая форма общековприантных законов электромагнитного поля, принадлежащая Калуце и изложенная выше, ни в коей мере не представляет собой в унификации» гравитационного и электромазнитного полей. Наоборот, любая общековариантная и градиентпо инвариантная теория может быть представлена в форме Калуцы. При отсутствии электрических зарядов (токов) уравнение Максвелла в общековариантиой форме можно получить, варьируя интеграл действия с плотностью
где Fik — напряженности электромагнитного поля. Однако и более сложная зависимость скалярной плотпоети в интеграле действия от напряженностей могла бы с тем ше успехом быть согласована с цилиндричееки-симметрпчной пятимерной метрикой.
Калуца и Клейн, однако, получили еще один интересный результат. Они вычислили скаляр Р, образованный от тензора кривизны, который соответствует выбору пятимерной метрики в виде (8) или (12), и нашли
*) Помимо книги Бергмана, литературу по этому вопросу можно найти в монографии Людвига [439].
**) Для метрического тензора Гщ-, соответствующего X4, имеем, согласно (20),
Xv = f (х{) ех5
(20)
хъ — In
= lnHw(Xr, .,,,Х&), (20а)
(21)
P = R + lItfiklih
(22)
SX^dXv
ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
299
где R — тензор кривизны, определенный для четырехмерпой метрики ds* = gtbdx'dxk, a fa определены соотношениями (17). Это выражение тождественно совпадает с (21), если положить
}ік = \2xFik, ta = У2и ф(. (23)
Следует отметить здесь, что знак второго члена в правой части уравнения (22) изменился бы, если бы мы выбрали пятую координату времениводобяой (^55 = —1), а не пространственноподобный. Пятое измерение должно быть выбрано пространственноподобным, чтобы в (22) знак правой части был тот же, что и в (21). Можно сказать также, что при выборе P в качестве инварианта в интеграле действия эмпирический знак гравитационной постоянной представлен пространственноподобяым знаком lYss-
Однако не существует причин с точки зрения ограниченной группы цилиндрической метрики, чтобы в качестве подынтегрального выражения в интеграле действия выбрать именно пятимерную скалярную кривизну Р. Нерешенная проблема отыскания таких причин заставляет, по-видимому, думать о расширении группы, преобразований. Это связано с возможностями обобщения формализма Калуцы, которое мы сейчас кратко рассмотрим.
Одно из обобщений формализма Калуцы заключается в отказе от условия (10) Yss = 1 при сохранении условия (9). С точки Зрепия группы преобразований общей теории относительности ”(55 представляет собой теперь новое скалярное поде, которое по-прежнему предполагается не зависящим от х5, Полагая
Ї55 = Т>'5 = Jfi; Ti* = gih + Iftfk (24)
получаем
ds2 = ^.dx^dx^ = ](йхъ + Jidxi)1* + goidxldxh (25)
е «градиентной» группой
X'5 = Z5+ /И; /! = Zi-з//йЛ (26)
Иордан [440], первоначально сформулировавший свою теорию в проективной форме, воспользовался давними идеями Дирака [441] и сделал интересную попытку использовать это новое поле / для построения теории, в которой гравитационная постоянная обычной теории заменяется зависящим от времени полем. С математической точки зрепия эта идея была независимо исследована Тири [442] (см. также [443]). Как показал Фирц [444], введение вещества приводит в этой теории к дополнительным предположениям, без которых временная зависимость стандартных длин, полученных ЕЗ атомных размеров и по гравитационному взаимодействию между частицами с массой, не равной нулю, еще не определена. Мы не будем здесь касаться вопроса об экспериментальных свидетельствах в пользу этой теории.
