Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
Из этого равенства можно получить для произвольного тензора второго ранга Sn, выражение
5IftJJJm — 5JftJmW ~ — (fthklmSih + RhiImShk)‘ (17)
Это очевидно для тепзора Sal специального вида Stk = at Ъь. Используя линейность, можно показать, что оно справедливо для лю-
бой линейной комбинации таких тензоров, а следовательно, и для тензора общего вида.
Подставляя в (17) тензор Sn, = at, к и складывая равенства, полученные из исходного циклической перестановкой индексов к, I, т, можно с учетом (7а) получить
l\m aJJiJftJm) {aiJZIroJft ai]m]l',h) "Ъ
iai',mlh',l ai',h\m;l) ~ HmaHlhjr ^ imkah', I ^ R ihlak‘,m)’
(18)
С другой стороны, ковариантпо дифференцируя (16) и затем складывая равенства, полученные циклической перестановкой к, I, т, находим
(ai;k)l;m ' aJJiJftJm) "Ь (ai',f,m',h aIJmJiJft) "Ь
"I- (aIJmJftJZ 0UftJmJi) = ilmah',h R ihlah',m
+ Я\ти«ш) - Кшїт» + Д\ітJft + Д\тКі) ak- (19)
Левые части (18) и (19) совпадают. Совпадает также и правая часть (18) е выражением в первых круглых скобках в правой части (19) (если не обращать внимания на порядок члепов). Поэтому для произвольного векторного поля должно обращаться в нуль выражение, стоящее во вторых круглых скобках в правой части (19). Таким образом, приходим к известным тождествам Биаики
Rhrn-,m + RhUm-,k +-Rhimh-,I=0- (2°)
Сверткой h — к = а получаем из них Ril;m Rim',I “Ь R Um',а = или, изменяя обозначение индексов,
^-Чі + Пі№=0. (21)
d. Случай риманова пространства. Для риманова пространства можно согласовать метрику и аффинную связность с помощью следующего естественного постулата: метрика gn(x) инвариантна относительно параллельного переноса вдоль любой кривой. Из этого требования с помощью (5) немедленно получаем
**!, = 0, (22)
ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 281
Последнее равенство в еиду (66) совпадает с (68), Соотношение (69) для Г<-г, вытекает из вего, если только Г-символы симметричны.
Условие (22) можно переиисап, в виде
совпадающем с (71) основного текста. С помощью этих формул можно поднимать и опускать индексы у тензора под знаком кова-риантной производной. Если, как обычно,
at = guar\ а{ = g1raT,
ТО
Заметим, что равенство (67) основоого текста также эквивалентно
(22). Используя равенства (3), (4) и соотношение (64) основного текста, получаем
ленных равенствами (66) и (69), нетрудно доказать остальные свойства симметрии:
Для этого достаточно подставить ga вместо Sn, в общее соотношение (17). Поскольку в силу (22) обращается в нуль левая часть полученного соотношения, то и правая часть, совпадающая с (24а), должна обращаться в нуль.
В § 16 было показано, что вследствие (24) свернутый тензор кривизны Rn симметричен, что означает обращение в нуль антисимметричной части Rih. Именно это позволяет в случае метрического пространства однозначным образом строить инварианты из тензора кривизны {см. формулу (113)).
Получим, наконец, из соотношения (21), вытекающего из тождеств Бианки, равенства (182а), (182Ь) для тензора (см. (109))
Для этого умножим (21) на g,lh и затем свернем по индексам % и 19 В. Паула
или
(22а)
(23)
Для метрического тензора кривизны, построенного из Г*г, опреде-
Riklm ~~RkUm
(24)
или
Si kRhhlm + Skh^hUtn —
(24а)
Gih = Rih — lUgthR-
(25)
282 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ к. Используя (23) и ghhRa ^ih (см- (93)), имеем
Rai-,a-R-,i + R\«=°
или
2(л*-1/*в?л);в = 0,
что совпадает с (25). Важность того обстоятельства, что четыре соотношения (25), столь существенные для общей теории относительности, так просто связаны с тождествами Бианки, было отмочено Эйнштейном в его более поздней работе.
Примечание 8. Метод Палатини состоит в следующем: прежде всего он обращает внимание на то, что хотя не являются тен-
зорами, вариации 6Г[Й этих величин согласно (71) образуют тензор. Используя формулу (94) для Rih, можно получить
6? = ^Г?а);й(1)
Это сразу можно увидеть в геодезических координатах, в которых в одной выбранной точке величины Г обращаются в нуль, хотя их производные в этой точке, вообще говоря, отличны от нуля, А поскольку обе части уравнения имеют тензорный характер, то это равенство будет справедливо и в произвольной системе координат.
Используя правило ковариантного дифференцирования произведения, имеем
v~g gih6Rik - [ (?1?? - ftt«r;k)];r +
+ [(1/=Ї g% -(1/=1 gu)it в*] 6Г[Й.
Первый член представляет собой коварнавтную дивергенцию, и, следовательно, согласно уравнению (6а), примеч. 7, после интегрирования по объему сводится к поверхностному интегралу. Последний равен нулю, поскольку вариации Г исчезают на границе. Поэтому имеем
j T/=ggikbRik dx = j [(1/~g gih).r —
— ("і/—"І gu)-s Sr ] 6Г-Й At+ J (по поверхности). (2)
Используя
Rihb(i—g gik) = Tl-M(Rik-iZigikR)Sgi1t = ^ihdihi получаем
S J З? dx = j ®ІАв*« dx + J [C]/~g gib).f _
— (V~ g gi3)-,s SrJh dx -f j* (по поверхности). (3)
До сих пор мы нигде не использовали обращение в нуль коварп-антной производной метрического тензора (см. уравнения (22) и
