Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Паули В. -> "Теория относительности " -> 87

Теория относительности - Паули В.

Паули В. Теория относительности — М.: Наука, 1991. — 328 c.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 110 >> Следующая

ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 277

(в примеч. 23) мы, однако, рассмотрим также и несимметричные T1ik, в связи с вопросом о применении в физике аффинной геометрии. В примеч. 7 мы ограничимся рассмотрением только симметричных r|ft.

Примечание 7. а. Ковариантное дифференцирование в пространстве аффинной с в я а н о с т и. (Стандартное изложение этого материала можно найти, например, в шш-гс Схоутеца [372].)

Как уже упоминалось, используя только связность r!ft = T1hi без всякой метрики, можно однозначно определить ковариантное дифференцирование Риччи и Леви-Чивиты. Обозначим ковариантное дифференцирование точкой с запятой (что слегка отличается от обозначений, принятых в основном тексте}, так что, например (см. (148а) и (148Ь)),

+ (1)

дЪ,

6IIft = — (2)

Постулируем для ковариантного дифференцирования следующие правила действия на скаляр с и па произведение тензоров (в частности, допускаются и свертки):

дс

(3)

А'

¦я дх

«!О*=aZ-,khZ+aZ-bZik- (4)

Эти правила аналогичны правилам действия обычной производной на произведение. Используя эти правила, нетрудно получить соотношения (1) и (2) одно из другого, так как

0*4);ft = a;A+<65;ft>

и члены, содержащие Г, выпадают. Более того, общая формула (152), приведенная в основном тексте для ковариантной производной от тензора, находится в соответствии с соотношением (4) и вытекает из него, если дополнительно предположить, что выполняются соотношения (1), (3) или (2), (3).

Нетрудно распространить определение параллельного переноса на случай тензорных полей. Условие инвариантности тензорпо-ного поля а " при параллельном переносе вдоль данной кривой записывается в виде

aZird^ = O- (5)

Если а" не определено вне кривой, то в формуле (5) следует заменить

Sa"' dxr da" на

дхг dt dt
278 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ

При такой замене определение (5) годится и для случая, когда а" задано только на выбранной кривой.

Заметим далее, что определение (152) согласуется с тем, что ковариантная производная от тензора, компоненты которого равны 6-символу Кронекера, обращается в нуль.

Применяя правило (4) для вычисления ковариаптной производной от детерминанта Z) = det|a(S| тензора второго ранга ац, (который преобразуется так же, как g), получаем

SD

и, следовательно,

CVBb=^r-ClVS.

Используя это равенство и формулу (3), для скалярной плотности Щ = йУО имовм

д%

Для дивергенции от векторной плотности Г-символы выпадают, и мы получим

*=<)**• (6а)

Ь. Тензор кривизны в пространстве аффинпой связности. Поскольку выражение (S6) для тензора кривизны

BTfl /)Г*}

nh ___ ij Xh і рЛ -пСй pft fCt /п\

Г+г»-г«-г*г«' (7)

приведенное в § 16, не содержит метрики, его легко перенести па случай пространства аффинной связности. Этот тензор по-прежнему обладает свойствами симметрии

Д\л--я\д. Д\* + <*і + я\іі=о- <7*>

Одпако теперь уже нельзя опустить первый индекс, п поэтому нет аналога свойства (92) антисимметрии по первой нарс индексов Инн*.-

Вследствие этого свернутый тензор кривизны, который по аналогии с (93) и (94) определяется как

/эга /эга

Л* = naIak = -f —— + 1I - TlГРр, (7Ь)

dxh Oxx

не является симметричным и его можно разложить на две непри-
ПРИМЕЧАНИЯ В, ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 279

водимые составляющие — симметричную и антисимметричную!

Ri к — Rih + rW

р _ D __ I (^ia і ^rift р _ 0 р №

+ ~^г + гЛ г«г«э (8>

{мы использовали здесь условие симметричности Г (65)) и 'дГ?а дТа ^ I1 Sxti дх*

Антисимметричная часть удовлетворяет тождеству SRik ORli SRkl

__1? + _? + _У= о. (10)

дх1 dsh Sxi

Поскольку для вариационного принципа важно иметь скалярную

плотность (см. § 23), мы заметим эдесь, что простейшей скаляр-

ной плотностью, которую можно построить из тензора кривизны алгебраически (без использования производных), является

3=V|det| Rii |[. (H)

Это очевидно, потому что для построения инвариантного элемента объема можно использовать любой симметричный тензор второго ранга, точно так же, как это делаетря для метрического тензора. Можно следующим образом определить соответствующий тен-вор с верхними индексами:

Ri3R- = 6? (12)

и использовать его затем для поднятия индексов у Л.д!

RiJ-RlmR^l (13)

Простейший инвариант имеет йид

(H)

Используя (11) и (14), можно построить скалярную плотность:

Sa - (l + ViaRtRl^R-R-) VIdetIflJSlI- <15)

Здесь a — произвольный параметр. Эта скалярная плотность со. стоит из двух выражений, сложенных друг с другом, чего так стре. мятся избежать авторы, разрабатывающие единые теории (см. примеч. 23). (Можно по аналогии о тем, как это сделано в примеч. 20, построить третий инвариант.)

с. Тождество Бианки. Для получения дифференциаль. ных тождеств Бианки, которые имеют место как в римановом IijpoL странстве, так и в более общем пространстве аффинной связности,
280 ПРИМЕЧАНИЯ О. ПАУЛИ к английскому изданию удобно начать со следующего равенства:

ai-,k;i~aur,tt'=~Rhikiah<

приведенного в основпом тексте.
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 110 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed