Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
-J fidZ,
распространенным на четырехмерную область между обоими сечениями. Если ось X направить по направлению скорости системы К относительно К', то легко найдем, что
J/idS-P J/U'dF,
ых
E + У Хх dV ;
п после промежуточных вычислении получим 1
Gx =
Zi-P2
б 44. ПРИМЕНЕНИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ
173
(347)
Эти формулы получены Эйнштейном [218]. С помощью интегрирования по частим они могут быть преобразованы в формулы Лауэ.
§ 44. Применение к специальным случаям.
Опыт Троутона — Нобля
Простоо рассуждение показывает, что согласно формулам преобразования релятшшстской механики движущееся твердое тело находится в равновесии отнюдь не тогда, когда результирующий момент приложенных к нему сил равен пулю. Рассмотрим, например, стерліень, который в системе К двшкетея со скоростью и в направлении сил X [219]. Пусть в сопутствующей стержню системе К' на оба конца стержня действуют по оси стержня равные, но противоположно направленные силы. Пусть, далее, измеренный в К' угол между стержнем и скоростью и (осью х) К' относительно К равен а. Если х', у' суть разности координат концов стержня в К', а х и у — соответствующие значения в К, то
Kx = I К' I cos а; Ky = \ К' j sin ct и согласно (213):
в противоположность соотношениям х = х'11 - р2; у = у'.
Таким образом, в К сила не направлена по стержню. Возникает момент сил
Теперь встает вопрос, почему, несмотря на наличие момента сил, вращение стержня не имеет места. Сразу же заметим, что силы упругости, уравновешивающие в К' внешние силы К, преобразуются совершенно так же, как
кх = к'х- Ky = KfyVi -P3
N1 = (I — |32) X1Ky — у'К'х = — Ky =
¦=—р3/0 [ Kr [sin a cos а. (348)
174
ГЛ III. СПЕЦИАЛЬНАЯ теория относительности
вти последние. Поэтому в системе К присутствует момент сил упругости, который компенсирует внетинй момент N. Более глубокая причина того, что здесь силы упругости не направлены по стержию, заключается в невозможности представить их в виде дивергенции некоторого тензора напряжений; именно, оказывается, что помимо этой дивергенции присутствует член, выяваппый ишеиепием плотности импульса во времени (см. § 42). Нижеследующее рассмотрение показывает, что отсюда получается также и количественно правильное зпачеияе момента сил. Момент упругих сил N равен взятой со знаком минус производной от Hojiuoto упругого момента количества движении L, т. е. соїласпо (344):
Вывод этот аналогичен выводу Лоренца для случая электромагнитных сил (220J. Поскольку в К' нее величины не зависят от времени, легко находим
N = - [uG]. (344 Ь)
Поэтому определение момента сил сведено к нахозкдо-аию полною упругого импульса
G = -Js dV,
В нашем случае поток энергии всегда параллелен направлению стерзкни, а распространенный па сечение стержня интеграл
§ Sndo = j I S Ifto
равен, в силу закона сохранения энергии, р.аботе (Ku), Поэтому
G =(IZc2)(Ku) г,
где г — вектор с компонентами г и у. Подставляя это значение в (344Ь), получаем:
INj = (1/с3) (Ku) I fur] I = P2Kxy' = ! Kt j sin a cos а.
Этот момент, таким образом, действительно точно компенсирует момент (348).
§ 44. ПРИМЕНЕНИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ
175
Аналогичные рассуждения позволяют разобрать случай прямоугольного рычага, для которого наличие момента сил было указано Льюисом и Толменом [221] и объяснено на основе теоремы об импульсе потока энергии Лауэ [222].
Если считать, что внешние силы, действующие на рассматриваемый стержень, вызваны наличием на его концах маленьких заряженных шариков, то нужен лишь небольшой шаг, чтобы прийти к экспериментальной установке Троутона и Нобля [8, 220]. Эти авторы исследовали, устанавливается ли заряженный конденсатор пер-
пендикулярно к направлению движения Земл'и. В системе, в которой конденсатор движется со скоростью и в направлении оси х, электромагнитное поле создает, вообще' говоря, момент сил, действующий На конденсатор*). Обозначим а' угол между пормалыо к пластине конденсатора и скоростью и, через W' — плотность энергии и через E' — электростатическую энергию в сопутствующей системе К'. Импульс в сопутствующей системе подсчитывается по (346). Поскольку поле в К' состоит только из однородного электростатического поля между пластинами конденсатора, которые ему перпендикулярны, имеем:
Е'х = I E' I cos а'; Е'у = [ E' | sin а', и для Sxx и S'Xy находим
S'xx = W — Ex2 = W (1-2 cos2 а');
Sxy «= — ExEy = 2 W sin а' cos а'.
Подставляя эти выражения в (346), получаем
Gx = Ar -/І= (2 - 2 cos2 а') = 2 4 sin2 а';
с- у 1 _ ‘ п-?1
Gy = — 2 \ E' sin a cos а' —-----\ E' sin 2а',
с с
(349)
Если отвлечься от членов высшего порядка, то импульо
*) Последний вывод см. у Лауэ [223]. О повторении опыта Троутона — Нобля с большей точеюстыо, а также о других экспериментальных работах, связанных с проверкой теории относительности и осуществленных до 1928 г., см. С. И. Вавилов [224*].—-Примеч. ред.
176 гл. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
параллелен пластинам. Отсюда, согласно (344Ь), находим момент сил: