Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
Пусть два наблюдателя AmB движутся в направлении оси х с относительной скоростью V. Пусть наблюдатели бросают друг другу по оси у и с одинаковой скоростью и шары одинаковой массы, и при этом направление удара имеет направление оси у. Тогда прежде всего сохраняются х компоненты скорости обоих шаров. Далее, из соображений симметрии следует, что наблюдатель В видит такое же движение своего шара, какое наблюдатель А видит для своего. На основании теоремы сложения скоростей (10) находим значения компонент скорости Wx, Wi и и Wy обоих сталкивающихся тел •в К в К'.
До удара А
Wx = 0; Wy = щ w'x — — V)
Wy— uV 1 Iy2Jc2.
*) Возражения Кемпбелла [200] относятся больше к форме доказательства, 4esj н efo сущности. Эпштейн гао^инл, чю
заклютепвя Льюиса в Тол мен а могут быть вполне строго обоснованы.
§ 38. ОБОСНОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ 163
До удара В
WX = V\ Wi = — мУ 1 - V2Ic2-,
Wx = 0; w'y = — и
После удара А
Wx = 0; Wi = — и'; wx = — v;
Wy = — u' V\ — V2Ic2. После удара В
W3l = у; wv = +u'f I — V2Ic7; wh = 0; і Oy = + ц'.
Если W= !vvI — абсолютное ЗІ1ЯЧППЯЄ скорости, то импульс MOfKtiO записать так:
G — т (w) vv,
где т, по определению называется массой и может зависеть только от абсолютного значения скорости. Из сохранения импульса в направлении х следует, что
и = и,
а из сохранения импульса в направлении у —
Переходя после деления па и к пределу и -* 0 и записывая //Ju вместо m (O)1 находим
что п требовалось доказать. Легко видеть, что выражение (а) удовлетворяется этим соотношением при любом и. Поскольку импульс определен, выражение (318Ь) для кинетической эпергии также легко получается с помощью преобразования Лоренца. Сила теперь определяется как производная от импульса по времени, п формулы преобразования для нее получаются сразу. Тем самым доказана возможность обосновать релятивистскую механику независимо от электродинамики (см. примеч. 12).
(а)
/
2
m = -
11*
164 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Можно еще заметить, что законы упругого удара, к которым ведет релятивистская механика, были для общего случая выведены и разобраны Юттнером [202],
§ 39. Принцип Гамильтона
в релятивистской механике
Уравнения движения (317) могут быть получены, как отметил еще Планк [217], из вариационного принципа, Если ввести функцию Лагранжа
Здесь, как и в случае гамильтонова принципа обыкновенной механики, значения ti и to и конечные точки пути интегрирования заданы. Уравнения движения можно записать также в гамильтоновой форме. Если вместо компонент скорости ввести импульсы
Интеграл действия J Ldt должен быть инвариантен относительно преобразования Лоренца. Это имеет место, так как
где т — собственное время. Вариационный принцип (326)
L = —/поС2У I — U2Ic2,
(325)
то, как легко проверить,
(326)
<0
п dL п dL п дЬ Cr*=—; сГу = —г) Lri — —; дх ду dz
dz
(327)
и образовать функцию Гамильтона
дх ду дг у 1 — и2/с
(328)
то получим
X = OBIdGet ...; OGJdt — Kx, ...
(329)
(330)
§ 40. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ
пишется теперь так*):
— Wi0C2S J йт + J KiSx1 = 0
(331)
или даже в виде
б j с/т = О,
(332)
если ввести для вариаций Sxi добавочное условие
Эта формулировка вариационного принципа принадлежит Минковскому ([64], II).
Уравнения движения (317) допускают преобразование, соответствующее теореме вириала обычной механики:
Если г при движении остается ограниченным и скорость и не приближается сколь угодно близко к скорости света, то после образования среднего по времени получаем
§ 40. Обобщенные координаты.
Каноническая форма уравнений движения
В релятивистской механике, вообще говоря, нельзя ввести потенциальную энергию, зависящую только от координат, так как, согласно основным положениям теории, взаимодействия не могут распространяться со скоростью, большей скорости тела. Однако известны случаи, когда, ТЄМ ЯЄ Менее, подобную ПОГеНциаЛЬНуЮ ЭНергИЮ MOJKUO ввести.
Это удобно, например, когда материальная точка движется в постоянном во времени силовом поле. Данный случай играет важную роль в теории тонкой структуры .бальмеровских линий. Можно написать;
(333)
L + Екяа = (Kr).
(333а)
IC S= ----гггяЯ JT
(334)
(335)
*) На границах области интегрирования Ьх1 должны исчезать.
166 гл. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
H (Gx,..., х,...) = Ети + Eauz = х BLjдх +..L, (336) X = OHIdGx, ...; dGxldt = —дНІдх... (337)
Этим уравнения приведены к канонической форме. Представляется возможным также ввести обобщенные координаты qі, .. ., ?4. Канонически сопряженные импульсы равны тогда
рк = OLjdqk, и мы получаем
Я (Р.?) = 2 і -b (338)
дН ' ^Pfl дН
dt dph ’ dt dgh ‘
Далее, имеет место, как и в обыкновенной механике, уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби. Приведенные выше формулы, согласпо самому их выводу, справедливы лишь в оОной системе координат, определяемой характером проблемы.
§ 41. Инерция энергии
Простая связь (318Ь) между кинетической энергией и масссй подсказывает предположение [203] *) о том, что всякой энергии соответствует масса т = Ejc2**). В этом случае инерция тела должна возрастать при его нагревании и, далее, излучение должно переносить массу от испускающего тела к поглощающему. Что касается второго из этих явлений, то оно может быть проверено путем следующих рассуждений. Пусть тело, покоящееся в К', излучает энергию Erad таким образом, что в целом импульс не излучается и, следовательно, тело оста-
