Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
g 37. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЕ
159
С. МЕХАНИКА И ОБЩАЯ ДИНАМИКА
§ 37. Уравнения движения.
Импульс и кинетическая энергия
Релятивистская механика *) исходит из предположения, что в системе К’, в которой материальная точка в рассматриваемый момент покоится, справедливы уравнения движения старой механики
Принцип относительности позволяет, далее, примепяя преобразование Лоренца к (313), однозначно установить законы движения в любой другой системе К. При этом, однако, не устанавливается, что нужно определить как силу в системе К, так как в трех уравнениях движения остается вначале одинаковый произвольный фактор, который может как угодно зависеть от скорости. Имеются два существенно различных пути для устранения этой неопределенности.
В первом случае используются электродинамические соображения. Так, если принять лоренцево выражение для пондеромоторной силы, действующей на движущийся сколь угодно быстро заряд, то при этом задаются также формулы преобразования для силы (см. § 29). Тот факт, что все силы должны преобразовываться одинаковым способом, следует из того, что если две силы уравновешиваются в системе К', то они должны уравновешиваться и в любой другой спстеме К. Формулы (213),
(214) и (215) могут, таким образом, быть обобщены на любые силы. На месте вектора (217) стоит четырехмерный вектор плотности силы-мощности
¦*) Ниже под релятивистской механикой всегда подразумевается механика специальной теории относительности, т. е. механика группы Лоренца. Против употребления слов «релятивистская механика» в этом смысле можно возразить, что и классическая механика тоже является релятивистской, поскольку она удовлетворяет постулату относительности. Однако термин «релятивистский» приобрел ужо давно специальный смысл, означающий «относительный по отношению к группе Лоронца», подобно тому как это случилось и с термином «специальная теория относительности»,
madY/dt'2 - К',
(313);
(314)
160 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
перпендикулярный к четырехмерной скорости:
м* = 0. (315)
Уравнения движения опять имеют вид
) dus
J? ^ 1 или 1X0 л ^316)
где Ho — инвариантная плотность массы покоя. Можно также ввести определяемую формулой (219) силу Минковского Ki и записать уравнения движения в виде (220). Из уравнений
^ (mu) = K; ± тс* = (Ku) (317)
следует, что импульс [135]
G = ти = —= и, (318а)
V I-P2
а кинетическая энергия
т/
Evm = me2 + -const = -----f const.
V i -Pa
Можно стремиться выбрать здесь постоянную так, чтобы Ekин исчезала для покоящейся материальной точки. Удобнее, однако, положить эту постоянную равной нулю. Тогда энергия покоящейся материальной точки равна TWoC2, а в общем случае
т с2
E = тс2 — -,-.1 =. (318Ь)
Zi-P2
Для малых P путем разложения в ряд получаем:
E = M0C211 + 7гР2) = -^0 + l^m0V2
в согласии со старой механикой. Целесообразность установленных здесь выражений ясна из того, что в этом случае величины
(Ji, J2, Jz)- cG; Ji = iE (319)
образуют компоненты четырехвектора, именно,
Jh = mQcuh. (320)
I 37. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
161
Отсюда следует, что для величин GhS справедливы в точности те же формулы преобразования, что и для замкнутой электромагнитной системы без зарядов (световой волны; см. (228)):
с соответствующими обратными формулами. Эти формулах справедливы также для импульса и энергии системы свободно движущихся частиц.
Как и следовало ожидать, релятивистские уравнения движения и выражения для импульса и энергии при малых скоростях переходят в соответствующие уравнения старой механики. Более того, отклонение релятивистской механики от обычной — второго порядка относительно и/с. В этом, по Лауз [198], причина того, что старая электронная теория, опиравшаяся на обыкновенную механику, правильно объясняла все эффекты первого порядка.
Минковский [64] предложил также другую важную форму записи уравнений движения (316). Введем кинетический тензор энергии-импульса
Его пространствепныо компоненты представляют собой тензор потока импульса, смешанные компоненты (с точностью до фактора ic)—плотность импульса, а временная — плотность энергии. В силу уравнения непрерывности
Отметим здесь еще, что уравнения движения (317) в случае движения материальной точки под действием постоянной силы приводят к рассмотренному в § 26 гиперболическому движению.
11 В. Паули
(321)
(322)
дцо UiIdxk = О
(323)
уравпения движения записываются в виде
QQifdzk = /(.
(324)
162 ГЛ TH. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 38. Независимое от электродинамики обоснование релятивистской механики
Приведенный BbiDje вывод неудовлетворителен в том отношении, что опирается на электродинамические соображения. Поэтому существенно, что Льюис и Толмеи
[199] дали также другой вывод, совершенно не связанный с электродинамикой*). В этом выводе первичным является не понятие силы, а понятие импульса. Постулируется, что каждой движущейся материальной точке могут быть приписаны параллельный скорости вектор импульса и кинетическая энергия и при этом имеют место законы сохранения. Это значит, что при взаимодействии между массами системы, при котором энергия и импульс не излучаются и не выделяется теплота, суммы энергии и импульсов отдельных масс должны оставаться постоянными. В частности, это должно иметь место при упругом ударе. Далее, Льгоис и Толмен придумали мысленный эксперимент, покалывающий, что форма зависимости энергии в импульса от скорости однозначно определяется из требования инвариантности законов сохранения относительно преобразований Лоренца.
