Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичным образом можно ввести координаты с помощью стереографической проекции
і г /і r a — х ^ 1 /логс\
X=-X, — = = 1 + г,ї/4в*-> (125)
SM’
= (l J- r2/4a2)2 ’ (126)
причем в конечном результате снова опущены штрихи. Эта система имеет особую точку xn+l = a; в этой точке
Г = COt
Четвертая форма линейного элемента получается при введении нормальных координат, что достигается подста-
78
ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
НОВКОЙ
Хг =
Xn+1 = a cos — а
(127)
в (122). При этом получаем
(128)
Так как
2 QzWi - vW? = P1S WT - (yWf
(129)
(Ш
(при суммировании слева кагкдая комбинация (ik) учитывается только один раз), линейный элемент можно также записать в виде
Таким образом, у' — действительно нормальные координаты. Можно эти же выражения получить «окольным» путем, исходя из полярных координат. Начало координат системы у' соответствует точке хп+[ = а; р = ал соответствует особая точка, так как всем значениям у\ которые удовлетворяют условию р = ал, соответствует одна и та же точка я"+1 = —а. Мы получим все точки сферы, если ограничим р условием р < ап.
Из (128а) следует на основании (99) и (100), что в точке у' = 0 кривизна пространства ие зависит от двумерного направления и что в этой точке удовлетворяется соотношение (116). Коэффициент а имеет, в силу
Г
/ (IA)
л в силу (100), значение а = 1/а2.
(130)
То, что соотношения (116) с одним и тем ?К9 значением
I 18, ПРОСТРАНСТВО ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 79
а удовлетворяются во всех точках сферического пространства, следует ИЗ существования группы движений G„(n+1)/2, которая содержит преобразования, позволяющие перевести какую угодно точку и связанный с ней ««-мерный базис» в другую точку и другой re-мерный базис, такие, что при этих преобразованиях длины всех кривых остаются неизменными. Обозначим S переход (127) от системы х\ ..., xn+l евклидова Rni.і к нормальным координатам сферического Rn пространства, a T обозначим п(п + 1)/2-параметрическую группу ортогональных преобразований системы хх, ..., X71+1. Тогда
G„(n+i)/2 = S-1TS
и есть искомая группа движений. Вследствие этого линейный элемент имеет одинаковую форму во всех системах нормальных координат, где бы ни находилась в сферическом пространстве Rn их начальная точка. Отсюда следует, что соотношения (116) и (130) удовлетворяются во всем сферическом пространстве. Это можно, конечно, подтвердить и непосредственным расчетом.
Пространство Rn, очевидно, обладает постоянной кривизной, когда оно характеризуется следующими свойствами: в некоторой (конечной) окрестности каждой точки Rn можно определить систему координат так, что линейный элемент в ней имеет одну из четырех эквивалентных форм (120), (122), (124) или (128); а не обязательно должна быть положительной. Если а отрицательна, то в формулах всюду а2 можно заменить величиной —а2 и
а - -IM (130а)
Риман в своей диссертации (см. [76]) указал, а Липшиц [87] впервые доказал, что и наоборот, если всюду удовлетворяется соотношение (116), то следуют упомянутые свойства Rn- Фермейль [90] при помощи разложения линейного элемента в степенной ряд в нормальных координатах дал простое доказательство теоремы, заключающееся в том, что задание тензора кривизны однозначно определяет форму линейного элемента в нормальных координатах. Указание на эту теорему имеется уже у Ри-мана. В физике эта обратная теорема пока не нагйла никакого применения.
Для космологических вопросов (см. гл. IV) имеет значение следующее обстоятельство: форма линейного элемента не определяет однозначпо метрических свойств
80
ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
пространства в целом. Дифференциально-геометрическое рассмотрение должно быть дополнено в этом пункте проективным. Последнее позволяет для пространств постоянной кривизны сразу ответить на вопрос о свойствах всего пространства в целом. Например, как впервые указал Клейн*), для пространства постоянной положительной кривизны имеются две возможности, в зависимости от того, соответствует ли системе значений координат в представлении (122) одна или две точки пространства. В первом случае пространство называется сферическим, во втором случае, на основании проективной терминологии,— эллиптическим. Оба вида пространств являются хотя и неограниченными, но конечными в римановом смысле. Общий объем эллиптического пространства, очевидно, в два раза меньше, чем общий объем сферического пространства той же кривизны. Совершенно такие же соотношения имеют место для полной длины (замкнутых) геодезических линий обоих пространств. Для пространств постоянной отрицательной кривизны число различных возможностей значительно больше. Особенно замечательна поверхность Клиффорда, которая показывает возможность конечного многообразия с нулевой кривизной. Вопрос о геометрии в целом многообразий постоянной кривизны назван Киллингом проблемой клиффорд-клейновских пространственных форм.
§ 19. Интегральные теоремы Гаусса и Стокса
в четырехмерном римановом пространстве
Усложнение тензорного анализа общей группы преобразований по сравнению с анализом аффинной группы состоит в том, что в нем нельзя уже просто складывать компоненты двух тензоров, связанных с различными точками. Поэтому, чтобы получить из тензора дифференцированием новый тензор, нужно, вообще говоря, прибегнуть к помощи развитого в § 14 понятия о параллельном переносе. Получающиеся при этом правила были впервые чисто формально установлены Кристоффелем [81] и позднее приведены в систему Риччи и Леви-Чивитой (см. в [67]). Упрощения и геометрические интерпретации бы-
