Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
Fn = C„r"{l+-f ^Т"2+•“}’ (110>
где R — инвариант кривизны в центре шара. Дифференцированием получаем отсюда формулу для площади поверхности шара Sli:
5n = reC„r«-i{l + x4+*-}* ^111)
Мы можем эти соотношения использовать для нового геометрического определенна инварианта кривизны. Именно
Введение нормальных координат сводит вопросы инвариантности при любом преобразовании к инвариантности при линейном преобразовании*). Можно показать (отвлекаясь от несущественного постоянного множителя), что R является единственным инвариантом, который зависит ТОЛЬКО ОТ gik в их первых в вторых производных,
*) Cm. общие указания [93]; вывод у Н. Vermeil [90],
§ 18. ПРОСТРАНСТВО ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
75
причем от последних линейно [92, 94]. Все линейные тензоры второго ранга, которые обладают теми же свойствами, имеют вид [92, 94]:
CiRik + c%Rgih + Czgih (ci, Cz, сз — постоянные). (ИЗ)
§ 18. Евклидова геометрия и геометрия пространства
с постоянной кривизной
Равенство нулю тензора кривизны в евклидовом пространстве очевидно (см. § 16). Однако уже Риман в своей диссертации указал, что верна и обратная теорема: если тензор кривизны равен нулю, то пространство евклидово, т. е. тогда можно найти такую систему координат, в которой gih постоянны. Впервые обстоятельное доказательство этого утверждения дал Липшиц [87]. Очень изящное и наглядное рассуждение было проведено Вейлем [95]. В общем случае результат параллельного переноса вектора существенно зависит от пути, по которому он выполняется. Этого не будет, только если компоненты вектора могут быть определены не только как функции s, но и как функции координат хк, так чтобы всюду и для всех направлений кривых выполнялись уравнения (64). Это означает, что %* должны удовлетворять дифференциальным уравнениям
д?/дх’ = ~П?, (114)
Если искать условия их интегрируемости, то можно убедиться, что они совпадают с равенством Rhm = O. Если, таким образом, тензор кривизны равен нулю, то система уравнений разрешима, перенос направлення не зависит от пути, и можно сказать, что уравнения интегрируемы. Употребим теперь вместо заданной системы координат К с базисными векторами ек новую координатную систему К' с базисными векторами е;, обладающими следующими свойствами: в любой точке Pі должны быть па-
раллельны е'і в любой второй точке Рг- Компоненты а* в системе К (см. § 10) должны поэтому удовлетворять на основании (114) уравнениям
даЩдх* = - 1? (115)
Такой выбор координат возможеп потому, что вследствие (115) условия интегрируемости (63) выполняются.
76
ГЛ. И. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Действительно, выражения
dA дА а\= - Г&Й
дх1 дх
симметричны относительно I и і. В каждой точке имеется поэтому п векторов, именно Tl базисных векторов Єі, компоненты которых в К' остаются постоянными при любой бесконечно малой трансляции. Так как произвольный вектор х есть линейная функция е* и так как бесконечно малая трансляция по § 14 аффинна, компоненты х в К’ при этом не меняются. Это, однако, возможно, только если коэффициенты связности в К' исчезают, т. е. если gik постоянны, что может быть легко подтверждено и прямым вычислением OgilJdx'1. Этим самым доказательство закончено.
Среди римановых пространств можно выделить класс таких пространств, для которых кривизна не зависит ни от двумерного направления, ни от точки и в которых, следовательно, по (104) имеют место соотношения
Rhm + a (ghjg,h - gugij) = 0, (116)
где а — постоянная величина (положительная или отрицательная). После свертывания отсюда получается
Rih +(п- i)agih = 0 (117)
и
R = -n(n- 1)а. (118)
Для будущих приложений заметим, что тензор Gift, определяемый (109), приобретает при этом вид
Gih = {п~ (119)
При а = 0 мы возвращаемся к случаю нулевой кривизны.
Примером пространства постоянной кривизны является сфера п измерений, рассматриваемая как гиперповерхность евклидова пространства п + 1 измерений. Когда речь идет только о ее внутренней метрике, обычно говорят о сферическом пространстве Rn-Мы имеем в этом случае:
ds2 = S (dx )2 + (dxn+1)2\ (120)
І
2И2 + (*п+1)2 = я2- (121)
§ 18. ПРОСТРА Hl/i'bU ІШЬіияшк'и ni Hunoujj* t,
Суммирование по индексам производится от 1 до п. Введем сначала в качестве координат точек на сфере Xі (г = 1, 2, ..., п), представляющие собой параллельные проекции точек сферы на экваториальную плоскость а;" + 1 = 0. Исключая х"+1, из (120) при помощи (121) получаем
ds* = 2 [ ; r2 = 2 (*1)2- (12?
• Q - Г ;
г L J г
Экватор жп+1 = 0 является особий линией этой координатной системы. К каждому набору значений координат, кроме тех, которые соответствуют точкам экватора, относятся две точки сферического пространства Rn- Можно также проектировать точки сферы из центра на плоскость xn+l = —о, что'соответствует преобразованию координат
^ = -F Wf'* =ZW
Г
а Va2 + г'2
(123)
Опустив в конечном результате штрихи, получим для линейного элемента выражение
ds* = &ГГ7? j(fl2 + r2) 2 ^ J- (124)
Эта система координат охватывает только половину сферы, причем экватору соответствуют координаты г = °°.
