Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 9.6С. Прецессия вращающегося волчка. Как мы видели в § 8.6, имеются два возможных установившихся движения волчка, ось которого наклонена под любым заданным углом а к направленной вверх вертикали, при условии, что р2 > q. Рассуждения, подобные только что проведенным для сферического маятника, показывают, без ссылок на общую теорию, что эти установившиеся движения устойчивы. Для установившегося движения кривая / (z) на рис. 19 касается оси Oz; малое возмущение изменяет этот график таким образом, что он пересекает ось Oz в двух почти совпадающих точках.
Получим теперь этот результат из общей теории. Имеем
Г + 7 = -іі(ЄМ- sin2 9 ср2) + у С (г|5 + <p cos 0)2+ MgI cos в. (9.6.28)
Циклические интегралы, соответствующие циклическим координатам ср и г|), имеют вид
A sin20cp + С (яр* + ср cos 0) cos 0 = 2AK (9.6.29)
С (гр + ф cos 9) = Cn. (9.6.30) Для W получаем следующее выражение:
где, как и ранее, через 2р обозначено CnIА, а через q обозначено MgI/А. Обозначая, кроме того, cos0 через z, получаем
wV=^es1+^??+я*- 2^ (9-6-32>
^ = ?-^ + ?^, (9.6.34)
dz2 (1— Z)* 1 (I+2)3 v '
и установившееся движение будет устойчивым. Обращение в нуль производной dWIdz в установившемся движении равносильно условию (8.9.4).
§ 9.7. Колебания в окрестности установившегося движения. Если установившееся движение устойчиво, так что вызываемое малыми возмущениями отклонение от установившегося движения остается все время малым, то можно получить приближение к возмущенному движению, положив в уравнени-
§ 9.7J
КОЛЕБАНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
165
ях движения
g'r = сог + 11г. г = 1, 2, . . ., то, (9.7.1)
gr = ar + |r, г = то + 1, т + 2, . . ., п (9.7.2)
(через сог обозначено постоянное значение gr, г = 1, 2, . . ., то, в установившемся движении) и сохранив в них лишь члены первого порядка относительно | и т|.
В качестве примера найдем первое приближение к возмущенному движению в трех классических задачах, рассмотренных в § 9.6. Напомним, что, строго говоря, теория относится к возмущению, при котором ?r сохраняют те же значения, которые они имели в первоначальном установившемся движении. Однако практически это ограничение несущественно, так как малые изменения этих постоянных означают лишь переход к колебаниям около соседнего состояния установившегося движения.
Пример 9.7А. Центральное поле н/гп; возмущение круговой орбиты. Частица движется по окружности радиуса г =а со скоростью и под действием притяжения к центру с силой u/r", где п <С 3. Найдем движение, вызванное малой радиальной скоростью Xu1 направленной наружу и сообщенной в момент t = 0.
Имеем
¦ г92 = -
г
п >
г20 = /сіа3-".
(9.7.3)
Исключая 8, находим
Полагая г = а+-| и сохраняя в разложении лишь члены первого порядка относительно |, получаем
1'+P2I-O, (9.7.5)
p2 = (3-w)Li/an+1. (9.7.6)
где
Отсюда находим
I = sin pt =-у^L= sin pt. (9.7.7)
P у з — п
Значение г в некоторый момент t определяется из формулы
г= a (l+y|_sin Pt) ¦ (9.7.8)
Далее, пренебрегая членами порядка X2, имеем
9 = 3^ = «, (1-^ stop*), (9.7.9)
9 = (й*-^(1-соа р*). (9.7.10)
где со = У ц/ап+1 обозначает угловую скорость установившегося движения. Мы приняли, что 9 = 0 при t = 0. Приближенное уравнение возмущенной орбиты записывается в виде •
г = о(ц—-==smv3^nQ) . (9.7.11)
> уз—га /
166
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[Гл. IX
Апсидальные расстояния равны а (і ± —-—) , а апсидальный угол равен _ V 1/3—п'
я/У 3 — п. В двух хорошо известных случаях, п = —1 и п = 2, эта формула апсидального угла является точной.
Пример 9.7В. Сферический маятник; колебания в окрестности конического движения. Если угол 0 отсчитывать от вертикали, направленной вниз, то функции Г и У для сферического маятника будут иметь следующий вид:
Г = т(ёя + 8т«вфа), V=— rc2cos0, (9.7.12)
где п2 = gl а. Первоначально груз маятника двигался по горизонтальной
1 •--
окружности 0 = а, 0<а<-^-л,, и ц> = пу sec а. Предположим, что
Zi
в момент ? = 0 груз получил малый импульс, направленный наружу и лежащий в меридиональной плоскости, так что в начальный момент 0 имело малое значение x. Из уравнений Лагранжа находим
cos 0 sin 0 ф2 — п2 sin 0, 1
г_ \ (9-7.13)
і Ф = п sin2 а у sec а. )
0 = cos ( sin2 0 '
Исключая ф, получаем
At о • /sino cos0sin3a\ п /1л н л/\
б+в^япа-:----^Td-I=O. (9.7.14)
' \ sin a cos a sm3 0 / '
Полагая 0 = а + | и сохраняя в разложении лишь члены первого порядка относительно I, находим
ї + p2l = 0, (9.7.15)
где
р2 = п2 (sec а + 3 cos а). (9.7.16)
Следовательно,
I = — sin pt.
Экстремальные значения 0 равны <х-±{Х/р). Если в момент t = 0 считать ф = 0, то будем иметь
Ф= п У Uc^ -cos pi)}- (9.7.17)
Траектория груза на сфере будет описываться уравнением
0 = « + — sin/сер, (9.7.18)
где
к2 = 1 + 3 cos2 а.
Пример 9.7С. Нутация волчка. Уравнения, описывающие движение оси волчка, имеют вид (см. § 8.6)
