Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
I Qm+i— am+l j) I Qm+2 ^1+2 |i •••» I Qn 0^n Ii I Qm+i |i I Qm+2 \i • • •) I Qn I
малы. Если они будут оставаться малыми в течение всего времени движения, то мы будем говорить, что иходное установившееся движение является устойчивым. Более точно, установившееся движение называется устойчивым, если для любого заданного положительного числа е можно указать положительное число X (е) такое, что если г (0) < х, то г (t) < є при t > 0; функция г (t) имеет вид
r(t)
= і/ S (Qs-**)2+ S ?!
(9.6.4)
Циклические интегралы (9.6.1) можно записать в следующей форме: anQi + ai2Qz+ • ¦ ¦ +aimqm-=
• • •
= ?i — (ait m+iQm+i + ^i1 m+29W2 + • • • ~Г <Ч, nQn)i a2\Qi + a22Q2 "f" • • • + a2mQm =
= ?2 — (a2, m+lQm+l +^2, m+2Qm+2 + • • • +a2. nQn),
umiQi + &m?q^ + . . . +ammqm =
= ?m—(am, m+lQm+l + am, m+zQm+Z^T • • • + am, nQn)¦ ,
(9.6.5)
11 Л. А. Парс
162
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[Гл. IX
Правые части этих равенств для краткости запишем в виде
?t -B1, ?2 -B2, . . ., ?m -Вт. (9.6.6)
Матрица (ars) размером т х т неособенная, поэтому уравнения (9.6.5)
можно разрешить относительно qi, q2, ¦ • ., qm- Если обратную матрицу обозначить через (drs), то можно написать
Чт = drl (?4 - B1) + dr2 (?2 - B2) + . . . + drm (?m - Bm),
r = 1, 2, . . ., m. (9.6.7)
Кинетическую энергию T можно выразить не через ^1, q2, ...,qm, а через ?. Тогда будем иметь
• • • • дТ ' дТ ' дТ
1Т = Ч$>1 + Ч$% + ¦ • • +qmf>m+qm+l—--H 9W2---Ь • • • + Яп — =
n n
= gi(?i + B1)+?2(?2 + B2)+ ... + qm{K+Bm)+ 2 S e™grf.=
r=m-j-1 s—m+1
m
= S (?r+BrXdr^?j-BO + drat?s-B,)+ ... + drm(?m-Bm)} +
r=l
n n
+ 2 2 arsqrqs =
r=m+l s=m+l
mm mm nn,,
= 22 ^rs?r?s— 2 2 dTSBrBa-\- 2 2 ^rsows=
r= 1 s= 1 r= 1 s= 1 r=m-f-1 s=m-\-1
mm _
= 22 drsf>A + 2T, (9.6.8)
r=l S=I
где через T обозначена квадратичная форма от qm+\, qm+2, ¦ • -і Яп'ї она определенно-положительна, так как T ~^0, если каждое ? положить равным нулю. Уравнение энергии (9.6.2) принимает теперь вид
1* + W=C (9.6.9)
Здесь
m m
W=W(P11 ?2, ...,?m; qm+i, ^m+2, ...,gn) = 4"2 2 d„?r?.+ 7. (9.6.Ю)
r= 1 S= 1
Таким образом, во время движения
W<C, (9.6.11)
и рассуждения, аналогичные проведённым при исследовании колебаний около положения равновесия (§ 9.1), показывают, что установившееся движение является устойчивым, если функция W достигает в точке (txm+1, am+2, . . . . . ., ап) минимума.
Функция W стационарна в установившемся движении независимо от того, устойчиво оно или нет. В самом деле, уравнения
|^ = 0, r = i» + l, т+2, ..., п, (9.6.12)
эквивалентны уравнениям (9.6.3). Для доказательства заметим, что
m
W = 2 qfr-Ta+V. (9.6.13)
§ 9.61
УСТОЙЧИВОСТЬ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
163
Рассматривая малые отклонения от установившегося движения, имеем
т
T= і дЧг r=m+l
т п
= 2?r«?r+ 2 dj}^r}^r. (9.6.14)
r = m+i, m+2, . .., n, (9.6.15)
r= 1 r—m-\-1
Следовательно,
^ = g(F —rg) o?r — dqT '
откуда видно, что уравнения (9.6.12) эквивалентны уравнениям (9.6.3). Теперь ясно, как находить установившиеся движения и исследовать
их устойчивость. В выражении для Г+У мы от qu q2, ¦ ¦ . ¦, qm перейдем
к ?i, ?2, . . ., ?m, a qm+i, qm+2, . . ., Qn положим равными нулю. В результате получим W = W($u ?2, • • ., ?m! qm+i, ?m+2, • • •, Qn)- В установившемся движении W, как функция от qm+i, qm+2, ¦ • •, qn, принимает стационарное значение; если W имеет минимум, то движение устойчиво.
Пример 9.6А. Центральное поле. Частица движется под действием притяжения к центру с силой \ilrn на единицу массы.
Имеем
r + F-i^+^-^i. (9.6.16)
Координата 0 является циклической, и соответствующий циклический интеграл имеет вид
r«8 = ?, (9.6.17)
откуда
«"-4-5-.4^- ("¦«•«>
В установившемся движении (круговая орбита) функция W имеет стационарное значение:
= (9.6.19)
Движение устойчиво, если
^-f-^>0. (9.6.20,
В силу равенства (9.6.19) условие (9.6.20) эквивалентно неравенству п < 3, что и является условием устойчивости. Равенство (9.6.19) очевидно и из элементарных соображений, поскольку для круговой орбиты
г02 = u/rn. (9.6.21)
Пример 9.6В. Конический маятник. Для сферического маятника (§ 5.3) при измерении угла 0 от направленной вниз вертикали имеем
T V V = ~ma2 (e2+sin29cp2)—mgaccsQ (9.6.22)
или
r + F = y (02+sin20<P2)-rc2cos9, n2 = g/a. (9.6.23)
11*
164
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[Гл. IX
Координата ср является циклической, и соответствующий циклический интеграл равен
sin20cp = ?. (9.6.24)
Отсюда получаем
5=-?йг+»'«-"в, (9.6.26)
^ = Р.(гіл^+ЗсМ.Є) + и,сов9> (9627)
и установившееся движение является устойчивым. Устойчивость его можно доказать на основании § 5.2 без ссылки на общую теорию. В установившемся движении нули Z3 и Z2 функции / (z) совпадают и кривая / (z) касается оси Oz в точке z = Z3 (см. рис. 5). Влияние малого возмущения сказывается в том, что оно изменяет кривую таким образом, что она пересекает ось Oz в двух почти совпадающих точках. Движение при этом происходит в узком сферическом поясе вблизи первоначальной окружности.
