Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
2Т = 3ql + 2q\ + q\ + 2q2q3 + 2q3qt + 4ад2, 1 g 3 ^
2V = w2 (6g2 + 5ql + 4q\ + 8q2q3 + 8q3Qi + 10?1ft). J
Для этого случая имеем
/З 2 1\ /6 5 4\
A = 2 2 і), В = и2 5 5 4 ]. (9.3.26)
\1 11/ \4 4 4/
Уравнение периодов имеет вид
(р« _ „2)2 (р2 _ 4и2) = 0i (9.3.27)
откуда
pi = р| D „if р2 = 4и2_ (9.3.28)
Для р2 = р2 собственные векторы удовлетворяют единственному уравнению
(7i + ?2 + ?з = 0 О-3-29)
и решениями, удовлетворяющими условию ортогональности, будут (1, —1, 0) и(0, 1, -1).
Для р2 = Pg уравнения для собственных векторов имеют вид
6ft + 3q2 = 0, 3?, + 3q2 = 0 (9.3.30)
и собственным вектором будет (0, 0, 1).
Преобразование к главным координатам имеет вид
/1 0 0\ д= -і 1 0 1. (9.3.31)
V 0-11/
Действительно, собственные векторы нормированы и
2Т = i\+i\+il
2V = п*(Ц + Ц) + Ап%1
(9.3.32)
§ 9.4. Наложение связи. Если на колебательную систему с п степенями свободы наложить одну связь, то получим новую колебательную систему с л — 1 степенями свободы. При этом система будет обладать следующим свойством: значения п — 1 периодов свободных колебаний этой системы будут заключены между последовательными значениями периодов свободных колебаний первоначальной системы. В частности, основная частота системы при наложении связи увеличивается.
Для доказательства рассмотрим исходную систему в главных координатах; имеем
򦕦 + &),
і } (9-4.1)
v Ш +річі+¦¦¦+PIqD-
158
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[Гл. IX
Предполагается, что все периоды различны и р\ <С р\ < ... < рп_у < рп. Уравнение связи возьмем в форме
AiQ1 + А2д2 + ... + Anqn = 0. (9.4.2)
Для системы с наложенной связью удобно воспользоваться теми же самыми координатами; в результате мы придем к голономной системе с избыточными координатами (§ 5.8). Уравнения движения несвободной системы будут иметь вид
Qr + PlQr = ХАГ, г = 1, 2, . . ., п, (9.4.3)
где К — неопределенный множитель. Уравнением связи будет (9.4.2). Для главного колебания несвободной системы с периодом 2л/р имеем
откуда, учитывая (9.4.3), получаем
(-P2+Pr) Qr = ХАТ. (9.4.5)
С помощью уравнения связи (9.4.2) получаем уравнение периодов
^ + = (9'4-6>
Если ни один из коэффициентов А г не обращается в нуль и исходная система не имеет одинаковых периодов, то один из корней рг лежит между р\ и р\, один — между р\ и р\ и т. д.
Если один из коэффициентов Ат равен нулю, то соответствующая координата остается главной и период главного колебания не изменяется. Если два периода исходной системы одинаковы, то их общее значение является одновременно и периодом несвободной системы.
§ 9.5. Принцип Релея. Если на колебательную систему с п степенями свободы наложить п — 1 связей, то получим систему с одной степенью свободы. Физически это означает, что мы задаем форму колебаний системы. Возникает вопрос: каков период колебаний такой системы?
Введем главные координаты для исходной системы; тогда будем иметь
T = j(Ql + Ql+---v = t(piqi + piqi +
(9.5.1)
(9.5.2)
2
Уравнения связи представим в виде
Обозначим общую величину этих отношений через 8; эта величина будет играть роль единственной лагранжевой координаты несвободной системы. Для такой системы будем иметь
Т = ±
2 } (9.5.3)
V = J- (р\а\ + р\а\ +...+ plal) в2.
Период колебаний несвободной системы будет равен 2я/р, где
_« alPl + а2РІ +¦¦¦+ 0?пРп /П С /А
§ 9.5]
ПРИНЦИП РЕЛЕЯ
159
Если правую часть этого равенства рассматривать как функцию от Cx1, а2, • ¦ • , , то нетрудно убедиться, что эта функция приобретает стационарное значение, если все а, кроме одной, равны нулю. Таким образом, получаем следующую теорему: период колебаний несвободной системы, рассматриваемый как функция от связей, имеет стационарное значение, если исходная система вынуждена совершать одно из своих главных колебаний. Эта теорема составляет содержание принципа Релея.
В некоторых задачах можно, основываясь на соображениях симметрии, получить общее представление о характере главных колебаний; принцип Релея тогда позволяет найти периоды и получить полное решение задачи (пример 9.5А). В других случаях удается угадать форму какого-либо одного колебания, обычно основного. Свойство стационарности главных колебаний показывает, что достаточно хорошая оценка формы главного колебания позволяет, вообще говоря, получить хорошее приближение для соответствующего периода. (Если отношения Cx2Ax1, (X3Ax1, . . ., CxnAx1 имеют порядок О (є), то величина р2 — р\, полученная по формуле (9.5.4), имеет порядок О (є2).) Это свойство иллюстрируется в примере 9.5В.
Пример 9.5А. Рассмотрим снова пример 9.1А, в котором
V = 2mn2(x2 + y2 + z2 — xy — yz). J Если систему заставить совершать такие колебания, для которых
т = |=7' (9-5-6>
то период их будет равен 2п/р, где
р2_ 4n2(a2 + ?2 + v2-«?-?v) _ (9-5J).
«2+4?2 + Y2
Очевидно, что будет главным колебание, для которого х + z = у = полагая ? = 0, сх = —у, находим
