Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 70

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 290 >> Следующая


г

Wi = Ui, wr+1 = ur+i— 2 <%sUs, (9.2.41)

S=I

где

as = w'sAuT+1lw'sAws. (9.2.42)

Система W1, w2, Wk удовлетворяет условиям ортогональности. Практически векторы w строятся последовательно: если векторы W1, w2, ...,wr, где г<Ск, уже построены, то в качестве wT+1 можно взять любое решение уравнения (9.2.40), удовлетворяющее условию

wUw = 0, s=l, 2, ...,г. (9.2.43)

4) Если уравнение периодов имеет лишь простые корни, то главные координаты г), входящие в (9.1.22), определяются с точностью до знака. Если же уравнение периодов имеет кратные корни, то это утверждение перестает быть справедливым. Например, если р\ = р\, то T и V могут быть приведены к виду

^ = 1-(?+?+...+?, 1

1 і If (9-2-44)

V = YЧЇ) + уPW3+ ¦¦¦+YP^ J

и мы по-нрежнему будем иметь главные координаты, если заменим t]1 и t)2 на переменные ^1, ?2 по формулам

t)1 = ?t cos a + ?2 sin a, t)2 = sin а — ?2 cos а.

§ 9.3. Приложение теории. Теория преобразования к главным координатам, изложенная в § 9.2, позволяет применить новый метод к решению конкретных задач. Принципиального отличия от способа § 9.1, конечно, нет, и,

*) Процесс ортогонализации Грама — Шмидта.

I 9.3]

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ

155

вообще говоря, он приводит к цели медленнее, чем старый метод, однако он имеет то преимущество, что может быть непосредственно применен к таким задачам, для которых уравнения периодов имеют кратные корни. Как и ранее, решаем сначала уравнение периодов

\р2а - в I = 0. (9.3.1)

Пусть р\, р\, . . ., р\ будут его корни; расположим их в порядке возрастания:

р» < р\ < . . . < Pl. (9.3.2)

Определим действительный собственный вектор ur, соответствующий каждому собственному значению р\. В случае простых собственных значений никаких трудностей при этом не возникает: собственные векторы определяются однозначно (с точностью до скалярного множителя), и любая их пара удовлетворяет условиям ортогональности (9.2.34), (9.2.35). Если же уравнение периодов имеет кратные корни, решение усложняется, к собственных векторов, соответствующих ^-кратному корню, должны быть выбраны так, чтобы они образовали независимую систему векторов и чтобы каждая их пара удовлетворяла условиям ортогональности (см. § 9.2, п. 3). Практически бывает достаточно удовлетворить условию (9.2.34); условие (9.2.35) тогда выполняется автоматически.

Рассмотрим теперь матрицу S, элементами r-го столбца которой являются действительные ненулевые собственные векторы ит:

S=(U1, и2, ип). (9.3.3)

Преобразование

q = 8% (9.3.4)

осуществляет переход к главным координатам. Полное решение задачи производится так же, как и ранее.

Все сказанное выше вытекает из теории, изложенной в § 9.2, но может быть получено и непосредственно.

Убедимся сначала, что выведенные нами векторы щ, и2, . . ., Un линейно независимы. В самом деле, из того, что

Mr+i = ol1U1 -J-Ct2M2+ ••• -\-<хтгіг, (9.3.5)

следует, что

u'r+lAur+1=^] as(u'r+iAus). (9.3.6)

S=I

Но последнее равенство заведомо неверно, поскольку левая часть его положительна, а правая равна нулю. Следовательно, столбцы матрицы S независимы и матрица неособенная.

Уравнения движения могут быть представлены в форме

Aq+ Bq = O. (9.3.7)

Далее,

BS=B(U1, и2, Un) = (Bu1, Bu2, Bun) =

= (р\Ащ, PlAu2, PnAun) = (Au1, Au2, Aun)P=

= А(ии и2, Un)P=ASP, (9.3.8) где, как и ранее, P обозначает диагональную матрицу

Pl

,P=I • I. (9.3.9)

156

ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ

[Гл. IX

Воспользуемся формулой (9.3.7), чтобы записать уравнение движения (9.3.4) через переменные |. Проделав это, получим

As'i+BSl=0 (9.3.10>

или, принимая во внимание (9.3.8),

AsCi+ҐІ) =0. (9.3.11)

Матрица AS неособенная (поскольку матрица S неособенная), и из (9.3.11) мы получаем уравнение

1 + .Pt = 0, (9-3.12)

эквивалентное системе п уравнений

Er + Рг|г= 0, г = 1, 2, .... п. (9.3.13)

Стало быть, I — главные координаты, что и требовалось доказать.

Как указывалось в § 9.2, преобразование (9.3.4) приводит выражения для T ж V к суммам квадратов. Этот факт тоже легко доказать непосредственно, поскольку

2T = q'Aq= i'S'ASl (9.3.14) и матрица S'A S диагональна. В самом деле, полагая

S'AS = (cTS), (9.3.15).

находим

crs = u'TAus, (9.3.16)

и если г ф s, то в силу условий ортогональности cTS = 0. Матрица S'A S представляет собой диагональную матрицу А:

(9.3.17) в которой

Xr^-u'rAur (9.3.18)

вещественны и положительны. Таким образом,

2T= 1'Ag= 2 Ur- (9-3.19)

г=1

Аналогично

2V = q 'Bq = \'S'BS%, (9.3.20)

и так как согласно (9.3.8)

S1BS= S'ASP, (9.3.21)

то S'BS есть диагональная матрица

ХгРІ

AP= І І (9.3.22)

2V= 2 Kpflh (9.3.23)

r=l

$ 9.4]

НАЛОЖЕНИЕ СВЯЗИ

157

Если мы нормируем собственные векторы ит так, чтобы

u'TAuT = U г = 1, 2, ...,гс, (9.3.24)

то каждое %г равно единице ж T ш V принимают форму (9.1.22).

Пример 9.3. Найдем преобразование к главным координатам, если
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed