Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
1 і
Ф = у a (cos /7jf + cos Jt)2^), ф = у а (cos />t2 — cos p2t).
Предположим теперь, что отношение MIm велико. Тогда р2 — п, a pt несколько меньше, чем п; запишем его в виде pi = п — 2v, где v — малая величина. Переменные ф и ф можно представить в форме
Ф = a cos vt cos (п — v) t, ф = a sin vt sin (п — v) t. (9.1.61)
Движение по координате ф можно считать гармоническим с периодом 2л/(п — v) (который мало отличается от периода 2л/п свободных колебаний каждого из маятников, когда стержень AB находится в покое) и медленно изменяющейся амплитудой с большим периодом 2jt/v. Движение по координате ф принадлежит к тому же типу. При этом, однако, амплитуда ф-коле-баний максимальна тогда (t = 0, я/v, 2n/v, . . .), когда амплитуда ^-колебания минимальна, и наоборот. Колебание медленно передается от первого маятника ко второму, затем обратно — от второго к первому и т. д.
150
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
[Гл. IX
§ 9.2. Теория преобразования к главным координатам. До сих пор лишь предполагалось, что преобразование к главным координатам существует, в настоящем параграфе мы дадим доказательство существования этого преобразования.
Напомним, что матрицы Ли В суть вещественные симметричные матрицы, ассоциированные с определенно-положительными квадратичными формами. Уравнение относительно рг,
\р2А — Б 1 = 0, (9.2.1)
называется уравнением периодов. Все его корни вещественны и положительны. В самом деле, если р$ — корень уравнения (9.2.1), то существует ненулевой вектор (матрица-столбец) ит такой, что
(р2тА — В) иг = 0. (9.2.2)
Отсюда получаем
Pr (u'rAur) = u'rBur (9.2.3)
(вектор иг получается из иг заменой каждой его составляющей комплексно-сопряженной величиной). Это соотношение показывает, что рт вещественны и положительны. Корни pi, р\, . . ., р\ уравнения периодов являются собственными значениями *), а вектор иТ, удовлетворяющий уравнению (9.2.2), — собственным вектором, соответствующим собственному значению рг. Так как pi — число вещественное, то и вектор иг можно считать вещественным, что мы всегда и будем предполагать в дальнейшем. Положительный квадратный корень из собственного значения Pr обозначим через рТ-
Докая^ем теперь теорему о том, что существует действительное неособое преобразование, приводящее T и V к суммам квадратов. Применим метод индукции: считая теорему верной для п — 1 переменных, докажем справедливость ее для п переменных.
Возьмем какое-нибудь собственное значение р\ (не обязательно простой корень уравнения периодов), и пусть и\ будет соответствующим вещественным ненулевым собственным вектором, так что
(PlA-B)U1 = O. (9.2.4)
Тогда единственное однородное уравнение
U[Au = O (9.2.5)
*) Лагранж в первом издании своей «Mecanique Analytique» в 1788 г. и во втором издании в 1811 г., вышедшем за три года до его смерти, а также Лаплас в «Mecanique Celeste» (Premiere Partie, Livre II, Art. 57) ошибочно утверждали, что в случае равных собственных значений обязательно появляются члены вида t cos pt или teM и что поэтому для устойчивости необходимо, чтобы собственные значения были все различны. В § 23.3 будет показано, что такие члены действительно иногда появляются, когда два одинаковых собственных значения равны. Но в рассматриваемом здесь случае эти члены не появляются и малые колебания происходят около положения, в котором потенциальная энергия имеет минимум. Это легко усмотреть непосредственно из уравнения энергии (§ 9.1). На эту ошибку Лагранжа и Лапласа указали еще Вейерштрасс в 1858 г. и Раус в 1877 г. Хорошо известны комментарии Томсона и Тэта («Treatise on Natural Philosophy*, 1912, p. I, Art. 343m): «Странно, что Лагранж не заметил этой своей ошибки в течение двадцати трех лет. Вероятно, он обнаружил бы ее уже при написании статьи для последнего издания, если бы имел обыкновение иллюстрировать свои замечательные аналитические результаты примерами. В этом случае он, конечно, заметил бы, что вывод о неустойчивости равновесия частицы, находящейся на дне гладкого сосуда, имеющего форму тела вращения около вертикальной оси, не может быть справедливым».
[Одновременно с Вейерштрассом на ошибку Лагранжа указал О. И. Сомов. См. книгу Я. Л. Геронимуса «Очерки о работах корифеев русской механики», Гостехиздат, 1952.— Прим. перев.]
§9.2]
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ к ГЛАВНЫМ КООРДИНАТАМ
151
будет иметь п — 1 линейно независимых решений, скажем и = v2, v3, ..., Vn. Пусть T будет матрицей, первый столбец которой составлен из компонент вектора ии а остальные столбцы — из компонент векторов v2, V3, Vn:
T = (U1, vz, V3, .. ., Vn). (9.2.6)
Матрица T неособенная, и матрица T'AT имеет вид
а, о о ... о>
Т'АТ=\ О A1 I. (9.2.7)
Действительно, г-ж элемент первой строки при r> 1 равен u'rAvr, а г-й элемент первого столбца при r> 1 равен VrAu1, и оба эти элемента равны нулю.
Аналогичное утверждение справедливо и в отношении матрицы В; так как
PlAu1 = Bu1, (9.2.8)
то
VrBu1 = U1BVr = O, r = 2,3, .. ., п. (9.2.9)
